Renteregning og annuitetslån

Løsning

1. Månedsrente $r=\tfrac{0{,}12}{12}=0{,}01$ og $n=10\cdot12=120$.
2. Nåverdien av terminene skal være lik lånet: $\dfrac Ar\big(1-(1+r)^{-n}\big)=500\,000$.
3. $A=\dfrac{0{,}01\cdot500\,000}{1-1{,}01^{-120}}\approx7\,173{,}55$ kr.

Vanlige feil

• Fikk du 7 374 kr? Du har regnet ut et årlig terminbeløp og delt på 12. Bruk månedsrente og 120 terminer direkte.
• Fikk du 52 791 kr? Du har brukt 10 terminer. Lånet betales månedlig i 10 år, altså 120 terminer.
• Fikk du 60 000 kr? Du har brukt $12\,\%$ som månedsrente. Nominell årsrente $12\,\%$ gir $1\,\%$ per måned.

Vanlige feil

• Å bruke $500\,000$ på venstre side. Etableringsgebyret trekkes fra det du får utbetalt.
• Å glemme faktureringsgebyret. Det legges til hver termin, så betalingen blir $A+100$.

Løsning

1. Renter på lån gir fradrag i alminnelig inntekt, så skatten blir lavere enn uten lånet.
2. Skatteetaten regner gebyrer og provisjoner du betaler til långiveren, som etablerings- og termingebyr, som renter. De gir også fradrag.
3. Utgiftene øker altså ikke på grunn av skatteoppgjøret. Kostnaden etter skatt blir lavere enn det du betaler til banken.

Vanlige feil

• Å tro at gjeld øker formuesskatten. Gjeld trekkes fra formuen og senker den.

Løsning

1. Etter 5 år med $25\,\%$ rente: $1\,000\,000\cdot1{,}25^5=3\,051\,757{,}81$ cr.
2. Prisene stiger med $50\,\%$ i året, så i dagens kjøpekraft er beløpet verdt $\dfrac{3\,051\,757{,}81}{1{,}50^5}=401\,877{,}57$ cr.
3. Du har tapt over halvparten av kjøpekraften, selv med $25\,\%$ rente.

Vanlige feil

• Fikk du 1000000? Du har diskontert med innskuddsrenten. Nåverdien skal justeres for inflasjonen, så du deler på $1{,}50^5$.
• Fikk du 237 304,69? Å regne med en «realrente» på $25\,\%-50\,\%=-25\,\%$ er bare en tilnærming, og den er dårlig når rentene er så høye. Del på $1{,}50^5$ i stedet.
• Fikk du 2250000? Du har brukt enkel rente, $5\cdot25\,\%$. Renten legges til hvert år og forrentes videre.

Løsning

1. Rekken har $n$ ledd med kvotient $1{,}25$: $1+1{,}25+\dots+1{,}25^{n-1}=\dfrac{1-1{,}25^n}{1-1{,}25}=\dfrac{1{,}25^n-1}{0{,}25}$.
2. Saldoen er da $$\begin{aligned}\text{Saldo}={}&1\,000\,000\cdot1{,}25^n\\&-R\cdot\frac{1{,}25^n-1}{0{,}25}\end{aligned}$$
3. Sett $n=5$ og saldo $=0$: $R=\dfrac{1\,000\,000\cdot1{,}25^5\cdot0{,}25}{1{,}25^5-1}\approx371\,846{,}74$ cr.

Vanlige feil

• Fikk du 610 351,56? Du har delt sluttsaldoen fra a) på 5. Men pengene du ikke har tatt ut ennå, fortsetter å forrente seg, så hvert uttak kan være mindre.
• Fikk du 200000? Du har delt innskuddet på 5 og glemt renten.
• Å telle feil antall ledd i rekken. Fra $1$ til $1{,}25^{n-1}$ er det $n$ ledd.

Løsning

1. Renten skal dekkes av $R$: $0{,}30\cdot x=R$, så $x=\dfrac{371\,846{,}74}{0{,}30}\approx1\,239\,489{,}13$ cr.
2. Huset stiger med inflasjonen og er etter 5 år verdt $1\,239\,489{,}13\cdot1{,}50^5\approx9\,412\,370{,}60$ cr.
3. Løs inn lånet: $9\,412\,370{,}60-1\,239\,489{,}13\approx8\,172\,881{,}47$ cr.
4. Til sammenligning: nåverdien er $8\,172\,881{,}47/1{,}50^5\approx1\,076\,264$ cr. Du har økt kjøpekraften, mens du tapte over halvparten i a). Lån i en eiendel som følger inflasjonen lønner seg når lånerenten er lavere enn inflasjonen.

Vanlige feil

• Fikk du 9 412 370,61? Du har glemt å trekke fra lånet du må løse inn.
• Fikk du 3 362 647,25? Du har latt huset stige med lånerenten $30\,\%$. Huset følger inflasjonen på $50\,\%$.
• Fikk du 111 554,02? Du har ganget $R$ med renten i stedet for å dele. Renten på lånet skal være lik $R$, så lånet er $R/0{,}30$.

Løsning

1. Månedsrenten er $2\,\%$, så $k=1{,}02$ og $n=60$.
2. Verdien av innbetalingene ved slutten av lånet: $a+ak+\dots+ak^{59}=a\cdot\dfrac{1-k^{60}}{1-k}$. Det skal være lik lånet med renter, $100\,000\cdot k^{60}$.
3. $a=\dfrac{(1-k)\cdot100\,000\cdot k^{60}}{1-k^{60}}\approx2\,876{,}80$ kr. Det er det samme som annuitetsformelen gir.

Vanlige feil

• Fikk du 24 000 kr? Du har brukt $24\,\%$ som månedsrente. Månedsrenten er $2\,\%$.
• Fikk du 1 667 kr? Du har delt lånet på 60 og glemt renten.
• Fikk du 21 216 kr? Du har brukt 5 terminer i stedet for 60.

Vanlige feil

• Å bruke $100\,000$ på høyre side. Etableringsgebyret trekkes fra det du får utbetalt.
• Å glemme faktureringsgebyret. Hver termin koster $a+100$.

Løsning

1. Indeksen gikk fra $871$ til $656$, altså med faktoren $\dfrac{656}{871}\approx0{,}7532$.
2. Aksjene er da verdt $100\cdot\dfrac{656}{871}\approx75{,}32$ millioner kroner. Fallet er omtrent $24{,}7\,\%$.

Vanlige feil

• Fikk du 24,68? Du har regnet ut tapet, ikke verdien.
• Fikk du 132,77? Du har snudd brøken. Indeksen falt, så verdien må bli mindre enn $100$.

Løsning

1. $100\cdot\dfrac{656}{871}-9\approx66{,}3157$, så $V(n)=66{,}3157\,k^n-0{,}5\cdot\dfrac{1-k^n}{1-k}$.
2. 4 år er $n=48$ måneder, og $k^{48}=\big(1{,}15^{1/12}\big)^{48}=1{,}15^4\approx1{,}7490$.
3. $V(48)\approx66{,}3157\cdot1{,}7490-0{,}5\cdot\dfrac{1-1{,}7490}{1-1{,}15^{1/12}}\approx84{,}02$ millioner kroner.
4. Lånet er $100$ millioner, så gjelden som gjenstår er $100-84{,}02\approx15{,}98$ millioner kroner.

Vanlige feil

• Fikk du 84,02? Du har oppgitt verdien av aksjene, ikke gjelden. Gjelden er $100-V(48)$.
• Fikk du 32,56? Du har brukt $n=4$. Formelen regner i måneder, så 4 år er $n=48$.
• Fikk du 15 981 431,84? Svar i millioner kroner, slik formelen er: $15{,}98$.