Eksamen vår 2025

Løsning

1. Produktregel med $u=x^2-1$ og $v=e^{x^2}$: $u'=2x$ og, med kjerneregelen, $v'=2x\,e^{x^2}$.
2. $f'(x)=2x\,e^{x^2}+(x^2-1)\cdot2x\,e^{x^2}=2x\,e^{x^2}\big(1+x^2-1\big)=2x^3e^{x^2}$.
3. $e^{x^2}>0$ alltid, så fortegnet bestemmes av $x^3$: negativt for $x<0$, positivt for $x>0$.
4. $f$ avtar på $(-\infty,0]$ og vokser på $[0,\infty)$. Bunnpunktet er $f(0)=-1$.

Vanlige feil

• Fikk du 2x·e^(x^2)+(x^2-1)·e^(x^2)? Du har glemt kjernen: den deriverte av $e^{x^2}$ er $2x\,e^{x^2}$, ikke $e^{x^2}$.
• Å stoppe ved $2x\,e^{x^2}+(x^2-1)2x\,e^{x^2}$ uten å faktorisere. Da er fortegnet vanskelig å lese.

Løsning

1. Sett inn $f'(x)=2x^3e^{x^2}$ fra a): $\mathrm{El}_x[f]=\dfrac{x\cdot2x^3e^{x^2}}{(x^2-1)e^{x^2}}$.
2. Forkort $e^{x^2}$ og slå sammen $x\cdot x^3=x^4$: $\mathrm{El}_x[f]=\dfrac{2x^4}{x^2-1}$.

Vanlige feil

• Fikk du 2x^3/(x^2-1)? Du har glemt å gange med $x$ i telleren.

Løsning

1. Fra a) er $f'(x)=2x^3e^{x^2}$, så $f(x)=(x^2-1)e^{x^2}$ er en antiderivert.
2. $\displaystyle\int_{-1}^{1}2x^3e^{x^2}\,dx=f(1)-f(-1)=0\cdot e-0\cdot e=0$.
3. Kommentar: integranden er odde, $g(-x)=-g(x)$. Arealet under $x$-aksen til venstre er like stort som arealet over til høyre, så integralet blir $0$. Det betyr ikke at arealet mellom grafen og aksen er $0$.

Vanlige feil

• Fikk du 1? Å bruke grensene $0$ til $1$. Da blir svaret $0-(-1)=1$.
• Å konkludere med at arealet er $0$. Integralet er $0$, men arealet mellom grafen og $x$-aksen er positivt.

Løsning

1. $h(x)=\big(e^{1/2}\big)^x$ har grunntall $e^{1/2}>1$ og er derfor strengt voksende. En strengt voksende funksjon har en invers.
2. Løs $y=e^{x/2}$ for $x$: $\ln y=\tfrac x2$, så $x=2\ln y$.
3. Bytt navn på variabelen: $h^{-1}(x)=2\ln(x)$, definert for $x>0$.

Vanlige feil

• Fikk du ln(x)/2? Du har delt på $2$ i stedet for å gange. Fra $\ln y=\tfrac x2$ får du $x=2\ln y$.
• Fikk du e^(-x/2)? $\tfrac1{h(x)}=e^{-x/2}$ er ikke den inverse funksjonen. $h^{-1}$ er funksjonen som «går baklengs».

Løsning

1. Kjerneregelen: $h'(x)=e^{x/2}\cdot\tfrac12=\tfrac12e^{x/2}$.
2. $h^{-1}(1)=2\ln(1)=0$, så $2a=0$ og $a=0$.
3. $h'(2a)=h'(0)=\tfrac12e^0=\tfrac12$. Da er $\tfrac12=\tfrac1{2b}$, så $b=1$.

Vanlige feil

• Fikk du e^(x/2)? Du har glemt å gange med den deriverte av kjernen, $\tfrac12$.
• Fikk du 0,82? Du har brukt $h(1)$ i stedet for $h^{-1}(1)$. Med inversen fra a) er $h^{-1}(1)=2\ln1=0$.

Løsning

1. Etter 5 år med $25\,\%$ rente: $1\,000\,000\cdot1{,}25^5=3\,051\,757{,}81$ cr.
2. Prisene stiger med $50\,\%$ i året, så i dagens kjøpekraft er beløpet verdt $\dfrac{3\,051\,757{,}81}{1{,}50^5}=401\,877{,}57$ cr.
3. Du har tapt over halvparten av kjøpekraften, selv med $25\,\%$ rente.

Vanlige feil

• Fikk du 1000000? Du har diskontert med innskuddsrenten. Nåverdien skal justeres for inflasjonen, så du deler på $1{,}50^5$.
• Fikk du 237 304,69? Å regne med en «realrente» på $25\,\%-50\,\%=-25\,\%$ er bare en tilnærming, og den er dårlig når rentene er så høye. Del på $1{,}50^5$ i stedet.
• Fikk du 2250000? Du har brukt enkel rente, $5\cdot25\,\%$. Renten legges til hvert år og forrentes videre.

Løsning

1. Rekken har $n$ ledd med kvotient $1{,}25$: $1+1{,}25+\dots+1{,}25^{n-1}=\dfrac{1-1{,}25^n}{1-1{,}25}=\dfrac{1{,}25^n-1}{0{,}25}$.
2. Saldoen er da $$\begin{aligned}\text{Saldo}={}&1\,000\,000\cdot1{,}25^n\\&-R\cdot\frac{1{,}25^n-1}{0{,}25}\end{aligned}$$
3. Sett $n=5$ og saldo $=0$: $R=\dfrac{1\,000\,000\cdot1{,}25^5\cdot0{,}25}{1{,}25^5-1}\approx371\,846{,}74$ cr.

Vanlige feil

• Fikk du 610 351,56? Du har delt sluttsaldoen fra a) på 5. Men pengene du ikke har tatt ut ennå, fortsetter å forrente seg, så hvert uttak kan være mindre.
• Fikk du 200000? Du har delt innskuddet på 5 og glemt renten.
• Å telle feil antall ledd i rekken. Fra $1$ til $1{,}25^{n-1}$ er det $n$ ledd.

Løsning

1. Renten skal dekkes av $R$: $0{,}30\cdot x=R$, så $x=\dfrac{371\,846{,}74}{0{,}30}\approx1\,239\,489{,}13$ cr.
2. Huset stiger med inflasjonen og er etter 5 år verdt $1\,239\,489{,}13\cdot1{,}50^5\approx9\,412\,370{,}60$ cr.
3. Løs inn lånet: $9\,412\,370{,}60-1\,239\,489{,}13\approx8\,172\,881{,}47$ cr.
4. Til sammenligning: nåverdien er $8\,172\,881{,}47/1{,}50^5\approx1\,076\,264$ cr. Du har økt kjøpekraften, mens du tapte over halvparten i a). Lån i en eiendel som følger inflasjonen lønner seg når lånerenten er lavere enn inflasjonen.

Vanlige feil

• Fikk du 9 412 370,61? Du har glemt å trekke fra lånet du må løse inn.
• Fikk du 3 362 647,25? Du har latt huset stige med lånerenten $30\,\%$. Huset følger inflasjonen på $50\,\%$.
• Fikk du 111 554,02? Du har ganget $R$ med renten i stedet for å dele. Renten på lånet skal være lik $R$, så lånet er $R/0{,}30$.

Løsning

1. Deriver $100K^{1/4}L^{3/4}=2\,700$ med hensyn på $K$, med $L=L(K)$: $$25K^{-\frac34}L^{\frac34}+75K^{\frac14}L^{-\frac14}\frac{dL}{dK}=0$$
2. I $K=L=27$ er $K^{-3/4}L^{3/4}=1$ og $K^{1/4}L^{-1/4}=1$, så $25+75\dfrac{dL}{dK}=0$.
3. $\dfrac{dL}{dK}=-\dfrac{25}{75}=-\dfrac13$.

Vanlige feil

• Fikk du -3? Du har snudd brøken. Stigningen er $-\dfrac{\partial U/\partial K}{\partial U/\partial L}=-\dfrac{25}{75}$.
• Fikk du 1/3? Fortegnsfeil. Langs en iso-nyttekurve må $L$ ned når $K$ går opp.

Løsning

1. Nytten øker i både $K$ og $L$, så hele budsjettet brukes: $10K+30L=1\,080$. $\mathcal L=100K^{1/4}L^{3/4}-\lambda(10K+30L-1\,080)$.
2. $\dfrac{\partial\mathcal L}{\partial K}=25K^{-3/4}L^{3/4}-10\lambda=0$ og $\dfrac{\partial\mathcal L}{\partial L}=75K^{1/4}L^{-1/4}-30\lambda=0$.
3. Del den andre på $3$: $25K^{1/4}L^{-1/4}=10\lambda=25K^{-3/4}L^{3/4}$. Gang med $K^{3/4}L^{1/4}$: $K=L$.
4. Budsjettet: $10K+30K=1\,080$, så $K=L=27$ og $U(27,27)=100\cdot27=2\,700$.
5. Maksimum: på kantene $K=0$ eller $L=0$ er nytten $0$, så det eneste Lagrange-punktet gir maksimum.

Vanlige feil

• Å glemme å begrunne at punktet er et maksimum. Sammenlign med kantene $K=0$ og $L=0$, der nytten er $0$.
• Fikk du 1080? Du har oppgitt kostnaden, ikke nytten. Nytten i optimum er $U(27,27)$.

Vanlige feil

• Å bare vise at stigningene er like. Du må også vise at $(27,27)$ ligger på begge kurvene.

Vanlige feil

• Å glemme den indre deriverte $\tfrac12$ fra kjerneregelen.
• Å glemme produktregelen i leddet $y\big(2-e^{\frac12(x+y)}\big)$ når du deriverer med hensyn på $y$.

Løsning

1. $f_y-f_x=2-2e^{\frac12(x+y)}$. Når begge er null, er $e^{\frac12(x+y)}=1$.
2. $f_x=e^{\frac12(x+y)}\big(1+\tfrac12(x-y)\big)=0$, og siden $e^{\frac12(x+y)}>0$ må $1+\tfrac12(x-y)=0$.
3. $e^{\frac12(x+y)}=1$ gir $\tfrac12(x+y)=0$, altså $x+y=0$. Den andre gir $x-y=-2$.
4. Legg sammen: $2x=-2$, så $x=-1$ og $y=1$.

Vanlige feil

• Fikk du 1? Du har byttet om $x$ og $y$. Fra $x-y=-2$ er $y$ størst.

Vanlige feil

• Å skrive $h'(x)$ i stedet for $h'(x+y)$. Den deriverte skal evalueres i kjernen $x+y$.

Vanlige feil

• Å lese $h'(2a)=\frac1{2b}$ som $\tfrac12b$. Da får du $x-y=-\tfrac2b$ i stedet for $-2b$.

Løsning

1. Med $h(x)=e^{\frac12x}$ er $g(x,y)=x\,e^{\frac12(x+y)}+y\big(2-e^{\frac12(x+y)}\big)=f(x,y)$.
2. Fra Oppgave 2b) er $a=0$ og $b=1$.
3. 5d) gir $x=a-b=-1$ og $y=a+b=1$, samme punkt som i 5b).

Vanlige feil

• Fikk du 1? Du har byttet om $a-b$ og $a+b$.