Eksamen vår 2024

Vanlige feil

• Å glemme den indre deriverte $-0{,}1$ fra $e^{-0{,}1t}$. Da blir telleren $-10\,000e^{-0{,}1t}$ og fortegnet feil.
• Å derivere teller og nevner hver for seg. En brøk deriveres med brøkregelen.

Løsning

1. $f(0)=\dfrac{2\,500}{1+4e^0}=\dfrac{2\,500}{5}=500$.
2. Når $t\to\infty$, går $e^{-0{,}1t}\to0$, så $f(t)\to\dfrac{2\,500}{1}=2\,500$.
3. Skisse: kurven starter i $(0,500)$, vokser hele tiden (fra a)) og flater ut mot den vannrette asymptoten $f=2\,500$. Den typiske S-formen viser seg rundt $t\approx14$, der $f=1\,250$.

Vanlige feil

• Fikk du 2500? $e^0=1$, ikke $0$. Da blir nevneren $1+4=5$.
• Fikk du 0? Du har latt $e^{-0{,}1t}\to\infty$. Negativ eksponent betyr at leddet går mot $0$.

Løsning

1. Indeksen gikk fra $871$ til $656$, altså med faktoren $\dfrac{656}{871}\approx0{,}7532$.
2. Aksjene er da verdt $100\cdot\dfrac{656}{871}\approx75{,}32$ millioner kroner. Fallet er omtrent $24{,}7\,\%$.

Vanlige feil

• Fikk du 24,68? Du har regnet ut tapet, ikke verdien.
• Fikk du 132,77? Du har snudd brøken. Indeksen falt, så verdien må bli mindre enn $100$.

Løsning

1. $100\cdot\dfrac{656}{871}-9\approx66{,}3157$, så $V(n)=66{,}3157\,k^n-0{,}5\cdot\dfrac{1-k^n}{1-k}$.
2. 4 år er $n=48$ måneder, og $k^{48}=\big(1{,}15^{1/12}\big)^{48}=1{,}15^4\approx1{,}7490$.
3. $V(48)\approx66{,}3157\cdot1{,}7490-0{,}5\cdot\dfrac{1-1{,}7490}{1-1{,}15^{1/12}}\approx84{,}02$ millioner kroner.
4. Lånet er $100$ millioner, så gjelden som gjenstår er $100-84{,}02\approx15{,}98$ millioner kroner.

Vanlige feil

• Fikk du 84,02? Du har oppgitt verdien av aksjene, ikke gjelden. Gjelden er $100-V(48)$.
• Fikk du 32,56? Du har brukt $n=4$. Formelen regner i måneder, så 4 år er $n=48$.
• Fikk du 15 981 431,84? Svar i millioner kroner, slik formelen er: $15{,}98$.

Løsning

1. Sett $V(N)=100$: $66{,}3157\,k^N-0{,}5\cdot\dfrac{1-k^N}{1-k}=100$.
2. Gang ut og samle $k^N$: $$\Big(66{,}3157+\frac{0{,}5}{1-k}\Big)k^N=100+\frac{0{,}5}{1-k}$$
3. Ta $\ln$ og løs for $N$: $N=\dfrac{\ln\Big[\frac{0{,}5+100(1-k)}{0{,}5+66{,}3157(1-k)}\Big]}{\ln k}\approx76{,}06$.
4. Etter 76 måneder er $V\approx99{,}96$, fortsatt litt under $100$. Etter 77 måneder er $V\approx100{,}63$. Svaret er 77 måneder.

Vanlige feil

• Fikk du 76? $N\approx76{,}06$ er ikke et helt antall måneder. Etter 76 måneder er $V(76)\approx99{,}96$, fortsatt under $100$, så du må runde opp til 77.
• Fikk du 36? Du har glemt rentene på $0{,}5$ millioner i måneden. Uten dem ville det tatt 36 måneder, men rentebetalingene spiser av aksjene hver måned.

Løsning

1. i) $f'(x)=5\cdot3{,}57x^{2{,}57}$, så $\mathrm{El}_x(f)=\dfrac{x\cdot5\cdot3{,}57x^{2{,}57}}{5x^{3{,}57}}=3{,}57$.
2. ii) $f'(x)=100$, så $\mathrm{El}_x(f)=\dfrac{100x}{100x+50}$.
3. Forkort med $50$: $\mathrm{El}_x(f)=\dfrac{2x}{2x+1}$.

Vanlige feil

• Fikk du 100? Du har oppgitt $f'(x)$ i stedet for elastisiteten.
• Fikk du 100/(100x+50)? Du har glemt å gange med $x$.

Løsning

1. Forenkle: $B=\dfrac{0{,}1x^9e^{-x^2}}{x}=0{,}1x^8e^{-x^2}$.
2. $x=1$: $B=0{,}1e^{-1}\approx0{,}037=3{,}7\,\%$.
3. $x=2$: $B=0{,}1\cdot256\cdot e^{-4}\approx0{,}469=46{,}9\,\%$.
4. $x=3$: $B=0{,}1\cdot6\,561\cdot e^{-9}\approx0{,}081=8{,}1\,\%$.

Vanlige feil

• Fikk du 93,78? Du har glemt å dele på budsjettet $x$.
• Fikk du 0,47? Svar i prosent: $0{,}469$ er $46{,}9\,\%$.
• Fikk du 346,46? $e^{-x^2}$ med $x=2$ er $e^{-4}$, ikke $e^{-2}$.

Løsning

1. Produktregel og kjerneregel: $g'(x)=9x^8e^{-x^2}+x^9e^{-x^2}\cdot(-2x)=(9x^8-2x^{10})e^{-x^2}$.
2. $\mathrm{El}_x(g)=\dfrac{x\,(9x^8-2x^{10})e^{-x^2}}{x^9e^{-x^2}}=9-2x^2$.
3. $9-2x^2>1\iff x^2<4\iff x<2$ (siden $x\ge0$). Varen er luksusgode for $x<2$ og mindreverdig gode for $x>2$.
4. Sammenlikning: når $\mathrm{El}_x(g)>1$ vokser forbruket raskere enn budsjettet, så budsjettandelen øker. Den er størst i $x=2$, som tallene i b) viser: $3{,}7\,\%$, $46{,}9\,\%$, $8{,}1\,\%$.
5. Merk: I vanlig økonomisk språkbruk kalles et gode med $0<\mathrm{El}_x<1$ et nødvendighetsgode, og mindreverdig gode brukes om $\mathrm{El}_x<0$. Oppgaven bruker sin egen definisjon, og svaret over følger den.

Vanlige feil

• Fikk du 9/x-2x? Du har glemt å gange med $x$ i elastisitetsformelen.
• Fikk du -2? Å løse $9-2x^2>1$ som $x^2>4$. Ulikheten snur ikke når du flytter over ledd.

Vanlige feil

• Å glemme skilleveggene. Boksen har 12 rom, så det er vegger inne i boksen også.
• Å ta med lokk. Boksen er uten lokk, så $xy$ telles bare én gang.

Løsning

1. Med hensyn på $x$: $xy$ gir $y$, $\dfrac{60}{x}$ gir $-\dfrac{60}{x^2}$, og $\dfrac{48}{y}$ er konstant.
2. Med hensyn på $y$: $xy$ gir $x$, $\dfrac{48}{y}$ gir $-\dfrac{48}{y^2}$, og $\dfrac{60}{x}$ er konstant.

Vanlige feil

• Fikk du y+60/x^2? Fortegnsfeil: den deriverte av $\dfrac{60}{x}$ er $-\dfrac{60}{x^2}$.

Løsning

1. $M_x=0$ gir $y=\dfrac{60}{x^2}$, altså $xy=\dfrac{60}{x}$. $M_y=0$ gir $x=\dfrac{48}{y^2}$, altså $xy=\dfrac{48}{y}$.
2. Da er $\dfrac{60}{x}=\dfrac{48}{y}$, så $5y=4x$ og $y=\tfrac45x$.
3. Sett inn i $x=\dfrac{48}{y^2}$: $x=\dfrac{48}{\frac{16}{25}x^2}$, altså $x^3=75$ og $x=75^{1/3}\approx4{,}22$ cm.
4. $y=\tfrac45\cdot75^{1/3}\approx3{,}37$ cm og $z=\dfrac{12}{xy}=\big(\tfrac35\big)^{1/3}\approx0{,}84$ cm.
5. Dette er minimum: $M$ blir vilkårlig stor når $x$ eller $y$ går mot $0$ eller blir veldig stor, så det eneste stasjonære punktet må være minimum.

Vanlige feil

• Fikk du 5,27? Du har satt $y=\tfrac54x$ i stedet for $\tfrac45x$. Fra $\tfrac{60}{x}=\tfrac{48}{y}$ får du $60y=48x$.
• Du har glemt å regne ut $z$ fra volumkravet $z=\tfrac{12}{xy}$.