Eksamen høst 2024

Løsning

1. Månedsrenten er $2\,\%$, så $k=1{,}02$ og $n=60$.
2. Verdien av innbetalingene ved slutten av lånet: $a+ak+\dots+ak^{59}=a\cdot\dfrac{1-k^{60}}{1-k}$. Det skal være lik lånet med renter, $100\,000\cdot k^{60}$.
3. $a=\dfrac{(1-k)\cdot100\,000\cdot k^{60}}{1-k^{60}}\approx2\,876{,}80$ kr. Det er det samme som annuitetsformelen gir.

Vanlige feil

• Fikk du 24 000 kr? Du har brukt $24\,\%$ som månedsrente. Månedsrenten er $2\,\%$.
• Fikk du 1 667 kr? Du har delt lånet på 60 og glemt renten.
• Fikk du 21 216 kr? Du har brukt 5 terminer i stedet for 60.

Vanlige feil

• Å bruke $100\,000$ på høyre side. Etableringsgebyret trekkes fra det du får utbetalt.
• Å glemme faktureringsgebyret. Hver termin koster $a+100$.

Løsning

1. For $AK^\alpha L^\beta$ er $\mathrm{El}_K=\dfrac KP\cdot\alpha AK^{\alpha-1}L^\beta=\alpha$, og tilsvarende $\mathrm{El}_L=\beta$.
2. $P_1$: $\mathrm{El}_K[P_1]=0{,}5$ og $\mathrm{El}_L[P_1]=0{,}5$.
3. $P_2$: $\mathrm{El}_K[P_2]=0{,}75$ og $\mathrm{El}_L[P_2]=0{,}25$.

Vanlige feil

• Fikk du 150? Du har oppgitt den partielle deriverte i stedet for elastisiteten. Elastisiteten er uten benevning og er her bare eksponenten.

Løsning

1. Deriver $100K^{0{,}5}L^{0{,}5}+200K^{0{,}75}L^{0{,}25}=48\,000$ med hensyn på $K$: $$\begin{aligned}&50K^{-0{,}5}L^{0{,}5}+50K^{0{,}5}L^{-0{,}5}L'\\&+150K^{-0{,}25}L^{0{,}25}+50K^{0{,}75}L^{-0{,}75}L'=0\end{aligned}$$
2. Del på $50$ og samle leddene med $L'$ på venstre side: $$\begin{aligned}&\big(K^{0{,}5}L^{-0{,}5}+K^{0{,}75}L^{-0{,}75}\big)L'\\&=-\big(K^{-0{,}5}L^{0{,}5}+3K^{-0{,}25}L^{0{,}25}\big)\end{aligned}$$
3. Løs for $L'$: $$\frac{dL}{dK}=-\frac{K^{-0{,}5}L^{0{,}5}+3K^{-0{,}25}L^{0{,}25}}{K^{0{,}5}L^{-0{,}5}+K^{0{,}75}L^{-0{,}75}}$$

Vanlige feil

• Å glemme faktoren $L'$ når du deriverer leddene som inneholder $L$.
• Fikk du (K^(-0.5)·L^0.5+3K^(-0.25)·L^0.25)/(K^0.5·L^(-0.5)+K^0.75·L^(-0.75))? Du har glemt minustegnet.

Løsning

1. Med $K=L=160$ er hver potens $K^aL^{-a}=1$.
2. $\dfrac{dL}{dK}=-\dfrac{1+3}{1+1}=-2$.
3. Tolkning: én enhet mer kapital kan erstatte omtrent to enheter arbeidskraft uten at kontrakten brytes. (Dette kalles den tekniske substitusjonsbrøken.)

Vanlige feil

• Fikk du -1/2? Du har snudd brøken.
• Fikk du 2? Du har glemt minustegnet.

Løsning

1. Med hensyn på $x$ ($y$ er konstant): $6y-2xy-y^2=y(6-2x-y)$.
2. Med hensyn på $y$ ($x$ er konstant): $6x-x^2-2xy=x(6-x-2y)$.

Vanlige feil

• Fikk du 6y-2xy-2xy? Du har derivert $-xy^2$ med hensyn på $x$ til $-2xy$. Med hensyn på $x$ er $y^2$ en konstant, så leddet blir $-y^2$.

Løsning

1. $f_x=y(6-2x-y)=0$ gir $y=0$ eller $2x+y=6$. $f_y=x(6-x-2y)=0$ gir $x=0$ eller $x+2y=6$.
2. $y=0$ og $x=0$: $(0,0)$. $y=0$ og $x+2y=6$: $(6,0)$. $2x+y=6$ og $x=0$: $(0,6)$.
3. $2x+y=6$ og $x+2y=6$: trekk fra hverandre og få $x=y$, så $3x=6$ og $(2,2)$.

Vanlige feil

• Å dele på $x$ eller $y$ og dermed miste punktene på aksene.
• Å glemme tilfellet der begge parentesene er null samtidig, som gir $(2,2)$.

Løsning

1. $A=f_{xx}=-2y$, $B=f_{xy}=6-2x-2y$ og $C=f_{yy}=-2x$.
2. $(0,0)$: $A=0$, $B=6$, $C=0$, så $AC-B^2=-36<0$. Sadelpunkt.
3. $(0,6)$: $A=-12$, $B=-6$, $C=0$, så $AC-B^2=-36<0$. Sadelpunkt. $(6,0)$ tilsvarende.
4. $(2,2)$: $A=-4$, $B=-2$, $C=-4$, så $AC-B^2=16-4=12>0$ og $A<0$. Lokalt maksimum.

Vanlige feil

• Å konkludere med maksimum bare fordi $A<0$. Du må først sjekke at $AC-B^2>0$.
• Å bruke $B=6$ i alle punktene. $B=6-2x-2y$ avhenger av punktet.

Vanlige feil

• Å dele på $x-y$ uten å sjekke tilfellet $x=y$. Det er nettopp $x=y$ som gir løsningen.
• Å glemme endepunktene. Siden $x,y\ge0$, er restriksjonen et linjestykke med to endepunkter.

Løsning

1. Som i d) gir Lagrange $x=y=\tfrac A2$ langs $x+y=A$.
2. Maksverdien er $f\big(\tfrac A2,\tfrac A2\big)=6\cdot\tfrac{A^2}4-2\cdot\tfrac{A^3}8=\tfrac32A^2-\tfrac14A^3$.
3. Deriver: $3A-\tfrac34A^2=\tfrac34A(4-A)$, som er null for $A=4$ og skifter fra positiv til negativ der.
4. Kontroll: $A=4$ gir punktet $(2,2)$, som er det lokale maksimumet fra c).

Vanlige feil

• Fikk du 2? $A=2$ er restriksjonen i d), ikke den beste restriksjonen.
• Fikk du 6? $A=6$ gir punktet $(3,3)$, der $f=0$.