Eksamen høst 2025

Løsning

1. Venstre del: $-2^2+2\cdot2+1=1$. Høyre del: $2^2-6\cdot2+9=1$. Begge grenseverdiene for $f$ er $1$.
2. Deriver hver del: $f'(x)=-2x+2$ til venstre og $f'(x)=2x-6$ til høyre.
3. I $x=2$: $-2\cdot2+2=-2$ og $2\cdot2-6=-2$. Begge grenseverdiene for $f'$ er $-2$.
4. Samme verdi betyr at grafen henger sammen uten hopp. Samme stigning betyr at det ikke er noen knekk: de to delene har felles tangent i $x=2$.

Vanlige feil

• Å sette $x=2$ inn i feil del. Til venstre for $2$ gjelder $-x^2+2x+1$, til høyre gjelder $x^2-6x+9$.
• Fikk du 0? Å derivere $-x^2$ til $-2$ i stedet for $-2x$.

Løsning

1. Venstre del $-x^2+2x+1$ er en parabel som vender nedover, med toppunkt der $-2x+2=0$, altså $x=1$: $f(1)=2$.
2. Høyre del $x^2-6x+9=(x-3)^2$ har bunnpunkt i $x=3$: $f(3)=0$.
3. Kandidatene er $$\begin{aligned}f(0)&=1,\quad f(1)=2,\quad f(2)=1\\ f(3)&=0,\quad f(5)=4\end{aligned}$$
4. Største verdi er $f(5)=4$, minste er $f(3)=0$.

Vanlige feil

• Fikk du 2? $2$ er toppunktet på venstre del, men ikke globalt. Endepunktet $x=5$ gir $f(5)=4$.
• Å glemme endepunktet $x=5$. Et globalt maksimum ligger ofte i et endepunkt.
• Fikk du 1? $1$ er endepunktverdiene på venstre del. På høyre del synker $f$ helt ned til $0$ i $x=3$.

Løsning

1. Månedsrente $r=\tfrac{0{,}12}{12}=0{,}01$ og $n=10\cdot12=120$.
2. Nåverdien av terminene skal være lik lånet: $\dfrac Ar\big(1-(1+r)^{-n}\big)=500\,000$.
3. $A=\dfrac{0{,}01\cdot500\,000}{1-1{,}01^{-120}}\approx7\,173{,}55$ kr.

Vanlige feil

• Fikk du 7 374 kr? Du har regnet ut et årlig terminbeløp og delt på 12. Bruk månedsrente og 120 terminer direkte.
• Fikk du 52 791 kr? Du har brukt 10 terminer. Lånet betales månedlig i 10 år, altså 120 terminer.
• Fikk du 60 000 kr? Du har brukt $12\,\%$ som månedsrente. Nominell årsrente $12\,\%$ gir $1\,\%$ per måned.

Vanlige feil

• Å bruke $500\,000$ på venstre side. Etableringsgebyret trekkes fra det du får utbetalt.
• Å glemme faktureringsgebyret. Det legges til hver termin, så betalingen blir $A+100$.

Løsning

1. Renter på lån gir fradrag i alminnelig inntekt, så skatten blir lavere enn uten lånet.
2. Skatteetaten regner gebyrer og provisjoner du betaler til långiveren, som etablerings- og termingebyr, som renter. De gir også fradrag.
3. Utgiftene øker altså ikke på grunn av skatteoppgjøret. Kostnaden etter skatt blir lavere enn det du betaler til banken.

Vanlige feil

• Å tro at gjeld øker formuesskatten. Gjeld trekkes fra formuen og senker den.

Løsning

1. $\mathrm{El}_K[P]=\dfrac KP\cdot\dfrac{\partial P}{\partial K}=\dfrac{K}{100K^{1/5}L^{4/5}}\cdot20K^{-4/5}L^{4/5}=\dfrac15$.
2. På samme måte er $\mathrm{El}_L[P]=\dfrac45$.
3. $P(3200,100)=100\cdot3200^{1/5}\cdot100^{4/5}=100\cdot(32\cdot100)^{1/5}\cdot100^{4/5}=100\cdot2\cdot100=20\,000$.

Vanlige feil

• Fikk du 20? Du har oppgitt $\partial P/\partial K$ i stedet for elastisiteten. Elastisiteten er uten benevning og er her bare eksponenten.

Løsning

1. $\dfrac{\partial P}{\partial K}=20K^{-4/5}L^{4/5}$ og $\dfrac{\partial P}{\partial L}=80K^{1/5}L^{-1/5}$.
2. $\dfrac{dL}{dK}=-\dfrac{20K^{-4/5}L^{4/5}}{80K^{1/5}L^{-1/5}}=-\dfrac14\cdot\dfrac LK$.
3. I $(3200,100)$: $-\dfrac14\cdot\dfrac{100}{3200}=-\dfrac1{128}\approx-0{,}0078$.

Vanlige feil

• Fikk du -128? Du har snudd brøken. Stigningstallet er $-\tfrac{\partial P/\partial K}{\partial P/\partial L}$, ikke omvendt.
• Fikk du -1/4? Du har glemt faktoren $\tfrac LK$.
• Fikk du 0,01? Fortegnsfeil. Langs en isokvant må $L$ ned når $K$ går opp.

Løsning

1. Når $x=0$ eller $y=0$ er høyresiden $x\sqrt y=0$, så $U e^U=0$.
2. Siden $e^U>0$ for alle $U$, må $U=0$ langs begge aksene.
3. Når $x>0$ og $y>0$ er $x\sqrt y>0$. Da er $Ue^U>0$, og siden $e^U>0$, må $U>0$.

Vanlige feil

• $e^U=1$ gir $U=0$, men her er det produktet $Ue^U$ som er $0$. Svaret blir likevel $U=0$, fordi $e^U$ aldri er $0$.

Vanlige feil

• Å glemme at $e^U$ også må deriveres med kjerneregelen: den deriverte er $e^U\cdot U_x$, ikke $e^U$.

Løsning

1. $\mathcal L=U(x,y)-\lambda(x+2y-30)$. Betingelsene: $U_x=\lambda$ og $U_y=2\lambda$.
2. Del den andre på den første: $\dfrac{U_y}{U_x}=\dfrac{x/(2\sqrt y)}{\sqrt y}=\dfrac{x}{2y}=2$, så $x=4y$.
3. Sett inn i $x+2y=30$: $6y=30$, så $y=5$ og $x=20$.
4. Globalt maksimum: mengden $\{x+2y=30,\ x,y\ge0\}$ er lukket og begrenset, og $U$ er kontinuerlig, så et maksimum finnes. I endepunktene $(30,0)$ og $(0,15)$ er $U=0$, mens $U>0$ i $(20,5)$. Da må $(20,5)$ være det globale maksimumet.

Vanlige feil

• Fikk du 10? Du har satt $x=y$ eller glemt faktoren $2$ i betingelsen. Forholdet er $x=4y$.
• Å hevde globalt maksimum uten å sjekke endepunktene av linjestykket.