Geometriske rekker

Løsning

1. Månedsrente $r=\tfrac{0{,}12}{12}=0{,}01$ og $n=10\cdot12=120$.
2. Nåverdien av terminene skal være lik lånet: $\dfrac Ar\big(1-(1+r)^{-n}\big)=500\,000$.
3. $A=\dfrac{0{,}01\cdot500\,000}{1-1{,}01^{-120}}\approx7\,173{,}55$ kr.

Vanlige feil

• Fikk du 7 374 kr? Du har regnet ut et årlig terminbeløp og delt på 12. Bruk månedsrente og 120 terminer direkte.
• Fikk du 52 791 kr? Du har brukt 10 terminer. Lånet betales månedlig i 10 år, altså 120 terminer.
• Fikk du 60 000 kr? Du har brukt $12\,\%$ som månedsrente. Nominell årsrente $12\,\%$ gir $1\,\%$ per måned.

Vanlige feil

• Å bruke $500\,000$ på venstre side. Etableringsgebyret trekkes fra det du får utbetalt.
• Å glemme faktureringsgebyret. Det legges til hver termin, så betalingen blir $A+100$.

Løsning

1. Rekken har $n$ ledd med kvotient $1{,}25$: $1+1{,}25+\dots+1{,}25^{n-1}=\dfrac{1-1{,}25^n}{1-1{,}25}=\dfrac{1{,}25^n-1}{0{,}25}$.
2. Saldoen er da $$\begin{aligned}\text{Saldo}={}&1\,000\,000\cdot1{,}25^n\\&-R\cdot\frac{1{,}25^n-1}{0{,}25}\end{aligned}$$
3. Sett $n=5$ og saldo $=0$: $R=\dfrac{1\,000\,000\cdot1{,}25^5\cdot0{,}25}{1{,}25^5-1}\approx371\,846{,}74$ cr.

Vanlige feil

• Fikk du 610 351,56? Du har delt sluttsaldoen fra a) på 5. Men pengene du ikke har tatt ut ennå, fortsetter å forrente seg, så hvert uttak kan være mindre.
• Fikk du 200000? Du har delt innskuddet på 5 og glemt renten.
• Å telle feil antall ledd i rekken. Fra $1$ til $1{,}25^{n-1}$ er det $n$ ledd.

Løsning

1. Månedsrenten er $2\,\%$, så $k=1{,}02$ og $n=60$.
2. Verdien av innbetalingene ved slutten av lånet: $a+ak+\dots+ak^{59}=a\cdot\dfrac{1-k^{60}}{1-k}$. Det skal være lik lånet med renter, $100\,000\cdot k^{60}$.
3. $a=\dfrac{(1-k)\cdot100\,000\cdot k^{60}}{1-k^{60}}\approx2\,876{,}80$ kr. Det er det samme som annuitetsformelen gir.

Vanlige feil

• Fikk du 24 000 kr? Du har brukt $24\,\%$ som månedsrente. Månedsrenten er $2\,\%$.
• Fikk du 1 667 kr? Du har delt lånet på 60 og glemt renten.
• Fikk du 21 216 kr? Du har brukt 5 terminer i stedet for 60.

Vanlige feil

• Å bruke $100\,000$ på høyre side. Etableringsgebyret trekkes fra det du får utbetalt.
• Å glemme faktureringsgebyret. Hver termin koster $a+100$.

Løsning

1. $100\cdot\dfrac{656}{871}-9\approx66{,}3157$, så $V(n)=66{,}3157\,k^n-0{,}5\cdot\dfrac{1-k^n}{1-k}$.
2. 4 år er $n=48$ måneder, og $k^{48}=\big(1{,}15^{1/12}\big)^{48}=1{,}15^4\approx1{,}7490$.
3. $V(48)\approx66{,}3157\cdot1{,}7490-0{,}5\cdot\dfrac{1-1{,}7490}{1-1{,}15^{1/12}}\approx84{,}02$ millioner kroner.
4. Lånet er $100$ millioner, så gjelden som gjenstår er $100-84{,}02\approx15{,}98$ millioner kroner.

Vanlige feil

• Fikk du 84,02? Du har oppgitt verdien av aksjene, ikke gjelden. Gjelden er $100-V(48)$.
• Fikk du 32,56? Du har brukt $n=4$. Formelen regner i måneder, så 4 år er $n=48$.
• Fikk du 15 981 431,84? Svar i millioner kroner, slik formelen er: $15{,}98$.

Løsning

1. Sett $V(N)=100$: $66{,}3157\,k^N-0{,}5\cdot\dfrac{1-k^N}{1-k}=100$.
2. Gang ut og samle $k^N$: $$\Big(66{,}3157+\frac{0{,}5}{1-k}\Big)k^N=100+\frac{0{,}5}{1-k}$$
3. Ta $\ln$ og løs for $N$: $N=\dfrac{\ln\Big[\frac{0{,}5+100(1-k)}{0{,}5+66{,}3157(1-k)}\Big]}{\ln k}\approx76{,}06$.
4. Etter 76 måneder er $V\approx99{,}96$, fortsatt litt under $100$. Etter 77 måneder er $V\approx100{,}63$. Svaret er 77 måneder.

Vanlige feil

• Fikk du 76? $N\approx76{,}06$ er ikke et helt antall måneder. Etter 76 måneder er $V(76)\approx99{,}96$, fortsatt under $100$, så du må runde opp til 77.
• Fikk du 36? Du har glemt rentene på $0{,}5$ millioner i måneden. Uten dem ville det tatt 36 måneder, men rentebetalingene spiser av aksjene hver måned.