Lagranges metode

Vanlige feil

• Å blande fortegnskonvensjoner. Både $-\lambda$ og $+\lambda$ i $\mathcal L$ er riktig, men da får $\lambda$ motsatt fortegn. Hold deg til én.
• Å glemme faktoren $x$ i $\partial\mathcal L/\partial y$.

Løsning

1. Fra $\partial\mathcal L/\partial x=0$: $\lambda=\dfrac{F(y)}{M(y)}$. Fra $\partial\mathcal L/\partial y=0$, med $x>0$: $\lambda=\dfrac{F'(y)}{M'(y)}$.
2. Med $F=-4y^5+8y^4+8y^3$ og $M=4y^3$ blir $$\begin{aligned}\frac FM&=-y^2+2y+2\\\frac{F'}{M'}&=\frac{-20y^4+32y^3+24y^2}{12y^2}\end{aligned}$$
3. Sett dem like og gang med $12y^2$: $-12y^4+24y^3+24y^2=-20y^4+32y^3+24y^2$, altså $8y^4-8y^3=8y^3(y-1)=0$.
4. $y=0$ gir $M=0$, altså ingen utvinning, så $y=1$. Da er $M(1)=4$ og $x=\dfrac{1000}{4}=250$.
5. $\lambda=\dfrac{F(1)}{M(1)}=\dfrac{12}{4}=3$. Tolkning: kreves det én enhet mer, øker maksimal fortjeneste med omtrent $3$.

Vanlige feil

• Fikk du 1000? Du har glemt å dele på $M(1)=4$. Hver modul utvinner 4 enheter, så $x=1000/4$.
• Å tolke $\lambda$ som prosent. $\lambda$ er fortjeneste per enhet. Prosentvis endring krever at du deler på nivåene: $\tfrac{1000}{3000}\cdot3=1$, altså 1 % mer fortjeneste for 1 % flere enheter.
• Å dele med $y$ uten å vurdere $y=0$. Den løsningen må sjekkes og forkastes.