Funksjonsdrøfting og ekstremalpunkter

Løsning

1. På $(0,1)$ er $f'(x)=2x(2x-1)e^{x^2-2x+1}$. Eksponentialfaktoren er alltid positiv, og $2x>0$ når $x>0$. Fortegnet bestemmes derfor av $2x-1$.
2. $2x-1<0$ når $x<\tfrac12$ og $2x-1>0$ når $x>\tfrac12$. Altså synker $f$ fram til $x=\tfrac12$ og stiger etterpå.
3. På $(1,2]$ er $f(x)=2x+1$ med $f'(x)=2>0$. Fra b) henger delene sammen uten hopp, så $f$ fortsetter å stige helt til $x=2$.
4. Konklusjon: $f$ er avtagende på $[0,\tfrac12]$ og voksende på $[\tfrac12,2]$. Endepunktet $x=0$ kan tas med eller utelates; begge deler godtas.

Vanlige feil

• Fikk du 1? $x=1$ er skjøten mellom de to delene, ikke der $f'$ skifter fortegn. Se på faktoren $2x-1$.
• Fikk du 0? I $x=0$ er $f'=0$, men fortegnet skifter ikke der. Det avgjørende nullpunktet er der $2x-1=0$.
• Å glemme høyre del ($1<x\le2$). Oppgaven spør om hele $[0,2]$.

Løsning

1. Kandidater: endepunktene $x=0$ og $x=2$, det stasjonære punktet $x=\tfrac12$ fra c) og skjøten $x=1$.
2. Regn ut verdiene, og bruk at $e^{x^2-2x+1}=e^{(x-1)^2}$: $$\begin{aligned}f(0)&=1\cdot e^{1}\approx2{,}718\\ f(\tfrac12)&=2\cdot e^{1/4}\approx2{,}568\\ f(1)&=3\\ f(2)&=2\cdot2+1=5\end{aligned}$$
3. Minste verdi er $f(\tfrac12)=2e^{1/4}\approx2{,}568$. Største verdi er $f(2)=5$.

Vanlige feil

• Fikk du e? $e\approx2{,}718$ er $f(0)$, altså et endepunkt. Men $f$ fortsetter å synke etter $x=0$, helt til $x=\tfrac12$ (se c).
• Fikk du 2? Du har trolig satt eksponentialfaktoren lik $1$ i $x=\tfrac12$. Eksponenten er $(\tfrac12-1)^2=\tfrac14$, så verdien er $2e^{1/4}$.
• Fikk du 3? $3$ er $f(1)$, men $f$ stiger videre på $(1,2]$. Husk endepunktet $x=2$.

Løsning

1. Gang ut: $f(t)=6yt-3t^2$. Da er $f'(t)=6y-6t$.
2. $f'(t)=0$ gir $t=y$. Siden $f''(t)=-6<0$, er dette et maksimum.
3. $f(t)=3t(2y-t)\ge0$ når $0\le t\le2y$. Etter $t=2y$ ville utvinningen blitt negativ, så modulen produserer i tidsrommet $[0,2y]$.

Vanlige feil

• Fikk du 2y? $t=2y$ er der produksjonen stopper, ikke der den er størst. Toppunktet ligger midt mellom nullpunktene $0$ og $2y$.
• Å derivere med hensyn på $y$. Her er $t$ variabelen og $y$ en konstant.

Løsning

1. Venstre del $-x^2+2x+1$ er en parabel som vender nedover, med toppunkt der $-2x+2=0$, altså $x=1$: $f(1)=2$.
2. Høyre del $x^2-6x+9=(x-3)^2$ har bunnpunkt i $x=3$: $f(3)=0$.
3. Kandidatene er $$\begin{aligned}f(0)&=1,\quad f(1)=2,\quad f(2)=1\\ f(3)&=0,\quad f(5)=4\end{aligned}$$
4. Største verdi er $f(5)=4$, minste er $f(3)=0$.

Vanlige feil

• Fikk du 2? $2$ er toppunktet på venstre del, men ikke globalt. Endepunktet $x=5$ gir $f(5)=4$.
• Å glemme endepunktet $x=5$. Et globalt maksimum ligger ofte i et endepunkt.
• Fikk du 1? $1$ er endepunktverdiene på venstre del. På høyre del synker $f$ helt ned til $0$ i $x=3$.

Løsning

1. Produktregel med $u=x^2-1$ og $v=e^{x^2}$: $u'=2x$ og, med kjerneregelen, $v'=2x\,e^{x^2}$.
2. $f'(x)=2x\,e^{x^2}+(x^2-1)\cdot2x\,e^{x^2}=2x\,e^{x^2}\big(1+x^2-1\big)=2x^3e^{x^2}$.
3. $e^{x^2}>0$ alltid, så fortegnet bestemmes av $x^3$: negativt for $x<0$, positivt for $x>0$.
4. $f$ avtar på $(-\infty,0]$ og vokser på $[0,\infty)$. Bunnpunktet er $f(0)=-1$.

Vanlige feil

• Fikk du 2x·e^(x^2)+(x^2-1)·e^(x^2)? Du har glemt kjernen: den deriverte av $e^{x^2}$ er $2x\,e^{x^2}$, ikke $e^{x^2}$.
• Å stoppe ved $2x\,e^{x^2}+(x^2-1)2x\,e^{x^2}$ uten å faktorisere. Da er fortegnet vanskelig å lese.

Løsning

1. $A=f_{xx}=-2y$, $B=f_{xy}=6-2x-2y$ og $C=f_{yy}=-2x$.
2. $(0,0)$: $A=0$, $B=6$, $C=0$, så $AC-B^2=-36<0$. Sadelpunkt.
3. $(0,6)$: $A=-12$, $B=-6$, $C=0$, så $AC-B^2=-36<0$. Sadelpunkt. $(6,0)$ tilsvarende.
4. $(2,2)$: $A=-4$, $B=-2$, $C=-4$, så $AC-B^2=16-4=12>0$ og $A<0$. Lokalt maksimum.

Vanlige feil

• Å konkludere med maksimum bare fordi $A<0$. Du må først sjekke at $AC-B^2>0$.
• Å bruke $B=6$ i alle punktene. $B=6-2x-2y$ avhenger av punktet.

Løsning

1. $M_x=0$ gir $y=\dfrac{60}{x^2}$, altså $xy=\dfrac{60}{x}$. $M_y=0$ gir $x=\dfrac{48}{y^2}$, altså $xy=\dfrac{48}{y}$.
2. Da er $\dfrac{60}{x}=\dfrac{48}{y}$, så $5y=4x$ og $y=\tfrac45x$.
3. Sett inn i $x=\dfrac{48}{y^2}$: $x=\dfrac{48}{\frac{16}{25}x^2}$, altså $x^3=75$ og $x=75^{1/3}\approx4{,}22$ cm.
4. $y=\tfrac45\cdot75^{1/3}\approx3{,}37$ cm og $z=\dfrac{12}{xy}=\big(\tfrac35\big)^{1/3}\approx0{,}84$ cm.
5. Dette er minimum: $M$ blir vilkårlig stor når $x$ eller $y$ går mot $0$ eller blir veldig stor, så det eneste stasjonære punktet må være minimum.

Vanlige feil

• Fikk du 5,27? Du har satt $y=\tfrac54x$ i stedet for $\tfrac45x$. Fra $\tfrac{60}{x}=\tfrac{48}{y}$ får du $60y=48x$.
• Du har glemt å regne ut $z$ fra volumkravet $z=\tfrac{12}{xy}$.