Funksjonsdrøfting og ekstremalpunkter

Løsning

1. På $(0,1)$ er $f'(x)=2x(2x-1)e^{x^2-2x+1}$. Eksponentialfaktoren er alltid positiv, og $2x>0$ når $x>0$. Fortegnet bestemmes derfor av $2x-1$.
2. $2x-1<0$ når $x<\tfrac12$ og $2x-1>0$ når $x>\tfrac12$. Altså synker $f$ fram til $x=\tfrac12$ og stiger etterpå.
3. På $(1,2]$ er $f(x)=2x+1$ med $f'(x)=2>0$. Fra b) henger delene sammen uten hopp, så $f$ fortsetter å stige helt til $x=2$.
4. Konklusjon: $f$ er avtagende på $[0,\tfrac12]$ og voksende på $[\tfrac12,2]$. Endepunktet $x=0$ kan tas med eller utelates; begge deler godtas.

Vanlige feil

• Fikk du 1? $x=1$ er skjøten mellom de to delene, ikke der $f'$ skifter fortegn. Se på faktoren $2x-1$.
• Fikk du 0? I $x=0$ er $f'=0$, men fortegnet skifter ikke der. Det avgjørende nullpunktet er der $2x-1=0$.
• Å glemme høyre del ($1<x\le2$). Oppgaven spør om hele $[0,2]$.

Løsning

1. Kandidater: endepunktene $x=0$ og $x=2$, det stasjonære punktet $x=\tfrac12$ fra c) og skjøten $x=1$.
2. Regn ut verdiene, og bruk at $e^{x^2-2x+1}=e^{(x-1)^2}$: $$\begin{aligned}f(0)&=1\cdot e^{1}\approx2{,}718\\ f(\tfrac12)&=2\cdot e^{1/4}\approx2{,}568\\ f(1)&=3\\ f(2)&=2\cdot2+1=5\end{aligned}$$
3. Minste verdi er $f(\tfrac12)=2e^{1/4}\approx2{,}568$. Største verdi er $f(2)=5$.

Vanlige feil

• Fikk du e? $e\approx2{,}718$ er $f(0)$, altså et endepunkt. Men $f$ fortsetter å synke etter $x=0$, helt til $x=\tfrac12$ (se c).
• Fikk du 2? Du har trolig satt eksponentialfaktoren lik $1$ i $x=\tfrac12$. Eksponenten er $(\tfrac12-1)^2=\tfrac14$, så verdien er $2e^{1/4}$.
• Fikk du 3? $3$ er $f(1)$, men $f$ stiger videre på $(1,2]$. Husk endepunktet $x=2$.

Løsning

1. Gang ut: $f(t)=6yt-3t^2$. Da er $f'(t)=6y-6t$.
2. $f'(t)=0$ gir $t=y$. Siden $f''(t)=-6<0$, er dette et maksimum.
3. $f(t)=3t(2y-t)\ge0$ når $0\le t\le2y$. Etter $t=2y$ ville utvinningen blitt negativ, så modulen produserer i tidsrommet $[0,2y]$.

Vanlige feil

• Fikk du 2y? $t=2y$ er der produksjonen stopper, ikke der den er størst. Toppunktet ligger midt mellom nullpunktene $0$ og $2y$.
• Å derivere med hensyn på $y$. Her er $t$ variabelen og $y$ en konstant.