Funksjoner av flere variabler

Løsning

1. $\dfrac{\partial f}{\partial x}=-2x+y+6$ og $\dfrac{\partial f}{\partial y}=x-2y+3$.
2. Sett begge lik null. Den andre gir $x=2y-3$. Innsatt i den første: $-2(2y-3)+y+6=0$, altså $-3y+12=0$. Da er $y=4$ og $x=5$.
3. $f(5,4)=-25+20-16+30+12-20=1$.

Vanlige feil

• Fikk du 4? Har du byttet om $x$ og $y$? Kontroll: $\partial f/\partial x=-2\cdot5+4+6=0$ i punktet $(5,4)$.
• Fortegnsfeil i $\partial f/\partial y$: leddet $-y^2$ gir $-2y$, og $x\cdot y$ gir $x$.

Løsning

1. Skriv $g=e^{h}$ med $h(x,y)=-\tfrac{x^2}2+xy+6x-(y^2-3y+20)\ln x$. Kjerneregelen gir $\dfrac{\partial g}{\partial x}=g\cdot\dfrac{\partial h}{\partial x}$.
2. Elastisiteten blir $\mathrm{El}_x[g]=\dfrac xg\cdot\dfrac{\partial g}{\partial x}=x\cdot\dfrac{\partial h}{\partial x}$.
3. $\dfrac{\partial h}{\partial x}=-x+y+6-\dfrac{y^2-3y+20}{x}$, så $x\dfrac{\partial h}{\partial x}=-x^2+xy+6x-y^2+3y-20=f(x,y)$.
4. Når $x$ øker med $1\,\%$, endres $g$ med omtrent $f(x,y)\,\%$. Fra a) er $f(x,y)\le1$, så $g$ øker med høyst omtrent $1\,\%$.

Vanlige feil

• Å derivere $\exp(\dots)$ uten kjerneregelen. Den deriverte av $e^{h}$ er $e^{h}\cdot h'$.
• Å glemme at $\ln x$ er ganget med $(y^2-3y+20)$, som er konstant når vi deriverer med hensyn på $x$.