Funksjoner av flere variabler

Løsning

1. $\dfrac{\partial f}{\partial x}=-2x+y+6$ og $\dfrac{\partial f}{\partial y}=x-2y+3$.
2. Sett begge lik null. Den andre gir $x=2y-3$. Innsatt i den første: $-2(2y-3)+y+6=0$, altså $-3y+12=0$. Da er $y=4$ og $x=5$.
3. $f(5,4)=-25+20-16+30+12-20=1$.

Vanlige feil

• Fikk du 4? Har du byttet om $x$ og $y$? Kontroll: $\partial f/\partial x=-2\cdot5+4+6=0$ i punktet $(5,4)$.
• Fortegnsfeil i $\partial f/\partial y$: leddet $-y^2$ gir $-2y$, og $x\cdot y$ gir $x$.

Løsning

1. Skriv $g=e^{h}$ med $h(x,y)=-\tfrac{x^2}2+xy+6x-(y^2-3y+20)\ln x$. Kjerneregelen gir $\dfrac{\partial g}{\partial x}=g\cdot\dfrac{\partial h}{\partial x}$.
2. Elastisiteten blir $\mathrm{El}_x[g]=\dfrac xg\cdot\dfrac{\partial g}{\partial x}=x\cdot\dfrac{\partial h}{\partial x}$.
3. $\dfrac{\partial h}{\partial x}=-x+y+6-\dfrac{y^2-3y+20}{x}$, så $x\dfrac{\partial h}{\partial x}=-x^2+xy+6x-y^2+3y-20=f(x,y)$.
4. Når $x$ øker med $1\,\%$, endres $g$ med omtrent $f(x,y)\,\%$. Fra a) er $f(x,y)\le1$, så $g$ øker med høyst omtrent $1\,\%$.

Vanlige feil

• Å derivere $\exp(\dots)$ uten kjerneregelen. Den deriverte av $e^{h}$ er $e^{h}\cdot h'$.
• Å glemme at $\ln x$ er ganget med $(y^2-3y+20)$, som er konstant når vi deriverer med hensyn på $x$.

Løsning

1. $\mathrm{El}_K[P]=\dfrac KP\cdot\dfrac{\partial P}{\partial K}=\dfrac{K}{100K^{1/5}L^{4/5}}\cdot20K^{-4/5}L^{4/5}=\dfrac15$.
2. På samme måte er $\mathrm{El}_L[P]=\dfrac45$.
3. $P(3200,100)=100\cdot3200^{1/5}\cdot100^{4/5}=100\cdot(32\cdot100)^{1/5}\cdot100^{4/5}=100\cdot2\cdot100=20\,000$.

Vanlige feil

• Fikk du 20? Du har oppgitt $\partial P/\partial K$ i stedet for elastisiteten. Elastisiteten er uten benevning og er her bare eksponenten.

Løsning

1. $\dfrac{\partial P}{\partial K}=20K^{-4/5}L^{4/5}$ og $\dfrac{\partial P}{\partial L}=80K^{1/5}L^{-1/5}$.
2. $\dfrac{dL}{dK}=-\dfrac{20K^{-4/5}L^{4/5}}{80K^{1/5}L^{-1/5}}=-\dfrac14\cdot\dfrac LK$.
3. I $(3200,100)$: $-\dfrac14\cdot\dfrac{100}{3200}=-\dfrac1{128}\approx-0{,}0078$.

Vanlige feil

• Fikk du -128? Du har snudd brøken. Stigningstallet er $-\tfrac{\partial P/\partial K}{\partial P/\partial L}$, ikke omvendt.
• Fikk du -1/4? Du har glemt faktoren $\tfrac LK$.
• Fikk du 0,01? Fortegnsfeil. Langs en isokvant må $L$ ned når $K$ går opp.

Løsning

1. Når $x=0$ eller $y=0$ er høyresiden $x\sqrt y=0$, så $U e^U=0$.
2. Siden $e^U>0$ for alle $U$, må $U=0$ langs begge aksene.
3. Når $x>0$ og $y>0$ er $x\sqrt y>0$. Da er $Ue^U>0$, og siden $e^U>0$, må $U>0$.

Vanlige feil

• $e^U=1$ gir $U=0$, men her er det produktet $Ue^U$ som er $0$. Svaret blir likevel $U=0$, fordi $e^U$ aldri er $0$.

Vanlige feil

• Å glemme at $e^U$ også må deriveres med kjerneregelen: den deriverte er $e^U\cdot U_x$, ikke $e^U$.

Løsning

1. Deriver $100K^{1/4}L^{3/4}=2\,700$ med hensyn på $K$, med $L=L(K)$: $$25K^{-\frac34}L^{\frac34}+75K^{\frac14}L^{-\frac14}\frac{dL}{dK}=0$$
2. I $K=L=27$ er $K^{-3/4}L^{3/4}=1$ og $K^{1/4}L^{-1/4}=1$, så $25+75\dfrac{dL}{dK}=0$.
3. $\dfrac{dL}{dK}=-\dfrac{25}{75}=-\dfrac13$.

Vanlige feil

• Fikk du -3? Du har snudd brøken. Stigningen er $-\dfrac{\partial U/\partial K}{\partial U/\partial L}=-\dfrac{25}{75}$.
• Fikk du 1/3? Fortegnsfeil. Langs en iso-nyttekurve må $L$ ned når $K$ går opp.

Løsning

1. Nytten øker i både $K$ og $L$, så hele budsjettet brukes: $10K+30L=1\,080$. $\mathcal L=100K^{1/4}L^{3/4}-\lambda(10K+30L-1\,080)$.
2. $\dfrac{\partial\mathcal L}{\partial K}=25K^{-3/4}L^{3/4}-10\lambda=0$ og $\dfrac{\partial\mathcal L}{\partial L}=75K^{1/4}L^{-1/4}-30\lambda=0$.
3. Del den andre på $3$: $25K^{1/4}L^{-1/4}=10\lambda=25K^{-3/4}L^{3/4}$. Gang med $K^{3/4}L^{1/4}$: $K=L$.
4. Budsjettet: $10K+30K=1\,080$, så $K=L=27$ og $U(27,27)=100\cdot27=2\,700$.
5. Maksimum: på kantene $K=0$ eller $L=0$ er nytten $0$, så det eneste Lagrange-punktet gir maksimum.

Vanlige feil

• Å glemme å begrunne at punktet er et maksimum. Sammenlign med kantene $K=0$ og $L=0$, der nytten er $0$.
• Fikk du 1080? Du har oppgitt kostnaden, ikke nytten. Nytten i optimum er $U(27,27)$.

Vanlige feil

• Å glemme den indre deriverte $\tfrac12$ fra kjerneregelen.
• Å glemme produktregelen i leddet $y\big(2-e^{\frac12(x+y)}\big)$ når du deriverer med hensyn på $y$.

Løsning

1. $f_y-f_x=2-2e^{\frac12(x+y)}$. Når begge er null, er $e^{\frac12(x+y)}=1$.
2. $f_x=e^{\frac12(x+y)}\big(1+\tfrac12(x-y)\big)=0$, og siden $e^{\frac12(x+y)}>0$ må $1+\tfrac12(x-y)=0$.
3. $e^{\frac12(x+y)}=1$ gir $\tfrac12(x+y)=0$, altså $x+y=0$. Den andre gir $x-y=-2$.
4. Legg sammen: $2x=-2$, så $x=-1$ og $y=1$.

Vanlige feil

• Fikk du 1? Du har byttet om $x$ og $y$. Fra $x-y=-2$ er $y$ størst.

Vanlige feil

• Å skrive $h'(x)$ i stedet for $h'(x+y)$. Den deriverte skal evalueres i kjernen $x+y$.

Vanlige feil

• Å lese $h'(2a)=\frac1{2b}$ som $\tfrac12b$. Da får du $x-y=-\tfrac2b$ i stedet for $-2b$.

Løsning

1. Med $h(x)=e^{\frac12x}$ er $g(x,y)=x\,e^{\frac12(x+y)}+y\big(2-e^{\frac12(x+y)}\big)=f(x,y)$.
2. Fra Oppgave 2b) er $a=0$ og $b=1$.
3. 5d) gir $x=a-b=-1$ og $y=a+b=1$, samme punkt som i 5b).

Vanlige feil

• Fikk du 1? Du har byttet om $a-b$ og $a+b$.

Løsning

1. For $AK^\alpha L^\beta$ er $\mathrm{El}_K=\dfrac KP\cdot\alpha AK^{\alpha-1}L^\beta=\alpha$, og tilsvarende $\mathrm{El}_L=\beta$.
2. $P_1$: $\mathrm{El}_K[P_1]=0{,}5$ og $\mathrm{El}_L[P_1]=0{,}5$.
3. $P_2$: $\mathrm{El}_K[P_2]=0{,}75$ og $\mathrm{El}_L[P_2]=0{,}25$.

Vanlige feil

• Fikk du 150? Du har oppgitt den partielle deriverte i stedet for elastisiteten. Elastisiteten er uten benevning og er her bare eksponenten.

Løsning

1. Deriver $100K^{0{,}5}L^{0{,}5}+200K^{0{,}75}L^{0{,}25}=48\,000$ med hensyn på $K$: $$\begin{aligned}&50K^{-0{,}5}L^{0{,}5}+50K^{0{,}5}L^{-0{,}5}L'\\&+150K^{-0{,}25}L^{0{,}25}+50K^{0{,}75}L^{-0{,}75}L'=0\end{aligned}$$
2. Del på $50$ og samle leddene med $L'$ på venstre side: $$\begin{aligned}&\big(K^{0{,}5}L^{-0{,}5}+K^{0{,}75}L^{-0{,}75}\big)L'\\&=-\big(K^{-0{,}5}L^{0{,}5}+3K^{-0{,}25}L^{0{,}25}\big)\end{aligned}$$
3. Løs for $L'$: $$\frac{dL}{dK}=-\frac{K^{-0{,}5}L^{0{,}5}+3K^{-0{,}25}L^{0{,}25}}{K^{0{,}5}L^{-0{,}5}+K^{0{,}75}L^{-0{,}75}}$$

Vanlige feil

• Å glemme faktoren $L'$ når du deriverer leddene som inneholder $L$.
• Fikk du (K^(-0.5)·L^0.5+3K^(-0.25)·L^0.25)/(K^0.5·L^(-0.5)+K^0.75·L^(-0.75))? Du har glemt minustegnet.

Løsning

1. Med hensyn på $x$ ($y$ er konstant): $6y-2xy-y^2=y(6-2x-y)$.
2. Med hensyn på $y$ ($x$ er konstant): $6x-x^2-2xy=x(6-x-2y)$.

Vanlige feil

• Fikk du 6y-2xy-2xy? Du har derivert $-xy^2$ med hensyn på $x$ til $-2xy$. Med hensyn på $x$ er $y^2$ en konstant, så leddet blir $-y^2$.

Løsning

1. $f_x=y(6-2x-y)=0$ gir $y=0$ eller $2x+y=6$. $f_y=x(6-x-2y)=0$ gir $x=0$ eller $x+2y=6$.
2. $y=0$ og $x=0$: $(0,0)$. $y=0$ og $x+2y=6$: $(6,0)$. $2x+y=6$ og $x=0$: $(0,6)$.
3. $2x+y=6$ og $x+2y=6$: trekk fra hverandre og få $x=y$, så $3x=6$ og $(2,2)$.

Vanlige feil

• Å dele på $x$ eller $y$ og dermed miste punktene på aksene.
• Å glemme tilfellet der begge parentesene er null samtidig, som gir $(2,2)$.

Løsning

1. $A=f_{xx}=-2y$, $B=f_{xy}=6-2x-2y$ og $C=f_{yy}=-2x$.
2. $(0,0)$: $A=0$, $B=6$, $C=0$, så $AC-B^2=-36<0$. Sadelpunkt.
3. $(0,6)$: $A=-12$, $B=-6$, $C=0$, så $AC-B^2=-36<0$. Sadelpunkt. $(6,0)$ tilsvarende.
4. $(2,2)$: $A=-4$, $B=-2$, $C=-4$, så $AC-B^2=16-4=12>0$ og $A<0$. Lokalt maksimum.

Vanlige feil

• Å konkludere med maksimum bare fordi $A<0$. Du må først sjekke at $AC-B^2>0$.
• Å bruke $B=6$ i alle punktene. $B=6-2x-2y$ avhenger av punktet.

Vanlige feil

• Å dele på $x-y$ uten å sjekke tilfellet $x=y$. Det er nettopp $x=y$ som gir løsningen.
• Å glemme endepunktene. Siden $x,y\ge0$, er restriksjonen et linjestykke med to endepunkter.

Løsning

1. Som i d) gir Lagrange $x=y=\tfrac A2$ langs $x+y=A$.
2. Maksverdien er $f\big(\tfrac A2,\tfrac A2\big)=6\cdot\tfrac{A^2}4-2\cdot\tfrac{A^3}8=\tfrac32A^2-\tfrac14A^3$.
3. Deriver: $3A-\tfrac34A^2=\tfrac34A(4-A)$, som er null for $A=4$ og skifter fra positiv til negativ der.
4. Kontroll: $A=4$ gir punktet $(2,2)$, som er det lokale maksimumet fra c).

Vanlige feil

• Fikk du 2? $A=2$ er restriksjonen i d), ikke den beste restriksjonen.
• Fikk du 6? $A=6$ gir punktet $(3,3)$, der $f=0$.