Elastisitet

Løsning

1. Skriv $g=e^{h}$ med $h(x,y)=-\tfrac{x^2}2+xy+6x-(y^2-3y+20)\ln x$. Kjerneregelen gir $\dfrac{\partial g}{\partial x}=g\cdot\dfrac{\partial h}{\partial x}$.
2. Elastisiteten blir $\mathrm{El}_x[g]=\dfrac xg\cdot\dfrac{\partial g}{\partial x}=x\cdot\dfrac{\partial h}{\partial x}$.
3. $\dfrac{\partial h}{\partial x}=-x+y+6-\dfrac{y^2-3y+20}{x}$, så $x\dfrac{\partial h}{\partial x}=-x^2+xy+6x-y^2+3y-20=f(x,y)$.
4. Når $x$ øker med $1\,\%$, endres $g$ med omtrent $f(x,y)\,\%$. Fra a) er $f(x,y)\le1$, så $g$ øker med høyst omtrent $1\,\%$.

Vanlige feil

• Å derivere $\exp(\dots)$ uten kjerneregelen. Den deriverte av $e^{h}$ er $e^{h}\cdot h'$.
• Å glemme at $\ln x$ er ganget med $(y^2-3y+20)$, som er konstant når vi deriverer med hensyn på $x$.

Løsning

1. $\mathrm{El}_K[P]=\dfrac KP\cdot\dfrac{\partial P}{\partial K}=\dfrac{K}{100K^{1/5}L^{4/5}}\cdot20K^{-4/5}L^{4/5}=\dfrac15$.
2. På samme måte er $\mathrm{El}_L[P]=\dfrac45$.
3. $P(3200,100)=100\cdot3200^{1/5}\cdot100^{4/5}=100\cdot(32\cdot100)^{1/5}\cdot100^{4/5}=100\cdot2\cdot100=20\,000$.

Vanlige feil

• Fikk du 20? Du har oppgitt $\partial P/\partial K$ i stedet for elastisiteten. Elastisiteten er uten benevning og er her bare eksponenten.

Løsning

1. Sett inn $f'(x)=2x^3e^{x^2}$ fra a): $\mathrm{El}_x[f]=\dfrac{x\cdot2x^3e^{x^2}}{(x^2-1)e^{x^2}}$.
2. Forkort $e^{x^2}$ og slå sammen $x\cdot x^3=x^4$: $\mathrm{El}_x[f]=\dfrac{2x^4}{x^2-1}$.

Vanlige feil

• Fikk du 2x^3/(x^2-1)? Du har glemt å gange med $x$ i telleren.

Løsning

1. For $AK^\alpha L^\beta$ er $\mathrm{El}_K=\dfrac KP\cdot\alpha AK^{\alpha-1}L^\beta=\alpha$, og tilsvarende $\mathrm{El}_L=\beta$.
2. $P_1$: $\mathrm{El}_K[P_1]=0{,}5$ og $\mathrm{El}_L[P_1]=0{,}5$.
3. $P_2$: $\mathrm{El}_K[P_2]=0{,}75$ og $\mathrm{El}_L[P_2]=0{,}25$.

Vanlige feil

• Fikk du 150? Du har oppgitt den partielle deriverte i stedet for elastisiteten. Elastisiteten er uten benevning og er her bare eksponenten.

Løsning

1. i) $f'(x)=5\cdot3{,}57x^{2{,}57}$, så $\mathrm{El}_x(f)=\dfrac{x\cdot5\cdot3{,}57x^{2{,}57}}{5x^{3{,}57}}=3{,}57$.
2. ii) $f'(x)=100$, så $\mathrm{El}_x(f)=\dfrac{100x}{100x+50}$.
3. Forkort med $50$: $\mathrm{El}_x(f)=\dfrac{2x}{2x+1}$.

Vanlige feil

• Fikk du 100? Du har oppgitt $f'(x)$ i stedet for elastisiteten.
• Fikk du 100/(100x+50)? Du har glemt å gange med $x$.

Løsning

1. Produktregel og kjerneregel: $g'(x)=9x^8e^{-x^2}+x^9e^{-x^2}\cdot(-2x)=(9x^8-2x^{10})e^{-x^2}$.
2. $\mathrm{El}_x(g)=\dfrac{x\,(9x^8-2x^{10})e^{-x^2}}{x^9e^{-x^2}}=9-2x^2$.
3. $9-2x^2>1\iff x^2<4\iff x<2$ (siden $x\ge0$). Varen er luksusgode for $x<2$ og mindreverdig gode for $x>2$.
4. Sammenlikning: når $\mathrm{El}_x(g)>1$ vokser forbruket raskere enn budsjettet, så budsjettandelen øker. Den er størst i $x=2$, som tallene i b) viser: $3{,}7\,\%$, $46{,}9\,\%$, $8{,}1\,\%$.
5. Merk: I vanlig økonomisk språkbruk kalles et gode med $0<\mathrm{El}_x<1$ et nødvendighetsgode, og mindreverdig gode brukes om $\mathrm{El}_x<0$. Oppgaven bruker sin egen definisjon, og svaret over følger den.

Vanlige feil

• Fikk du 9/x-2x? Du har glemt å gange med $x$ i elastisitetsformelen.
• Fikk du -2? Å løse $9-2x^2>1$ som $x^2>4$. Ulikheten snur ikke når du flytter over ledd.