Derivasjon

Vanlige feil

• Å glemme kjernen og skrive $v'=e^{x^2-2x+1}$. Eksponenten er ikke bare $x$, så den må deriveres og ganges på.
• Fortegnsfeil når $(2x+1)(2x-2)$ ganges ut. Kontroll: ved $x=0$ skal produktet bli $1\cdot(-2)=-2$.

Løsning

1. Legg merke til at eksponenten er et fullstendig kvadrat: $x^2-2x+1=(x-1)^2$. Den er $0$ i $x=1$, så $e^{x^2-2x+1}=e^0=1$ der.
2. Venstre verdi: $\lim_{x\to1^-}f(x)=(2\cdot1+1)\cdot1=3$.
3. Venstre stigning, med $f'$ fra a): $\lim_{x\to1^-}f'(x)=2\cdot1\cdot(2\cdot1-1)\cdot1=2$.
4. Høyre del $ax+b$ har verdien $a+b$ og stigningen $a$ i $x=1$.
5. Samme verdi og samme stigning: $a+b=3$ og $a=2$. Det gir $a=2$ og $b=1$.

Vanlige feil

• Fikk du 3e? Du har trolig regnet eksponenten som $1$. Men $1^2-2\cdot1+1=0$, så faktoren er $e^0=1$.
• Fikk du 2e? Samme felle: $e^{x^2-2x+1}$ er $e^0=1$ i $x=1$, ikke $e$.
• Å bare kreve like verdier. Da får du bare likningen $a+b=3$, som ikke bestemmer $a$ og $b$ hver for seg.

Løsning

1. Venstre del: $-2^2+2\cdot2+1=1$. Høyre del: $2^2-6\cdot2+9=1$. Begge grenseverdiene for $f$ er $1$.
2. Deriver hver del: $f'(x)=-2x+2$ til venstre og $f'(x)=2x-6$ til høyre.
3. I $x=2$: $-2\cdot2+2=-2$ og $2\cdot2-6=-2$. Begge grenseverdiene for $f'$ er $-2$.
4. Samme verdi betyr at grafen henger sammen uten hopp. Samme stigning betyr at det ikke er noen knekk: de to delene har felles tangent i $x=2$.

Vanlige feil

• Å sette $x=2$ inn i feil del. Til venstre for $2$ gjelder $-x^2+2x+1$, til høyre gjelder $x^2-6x+9$.
• Fikk du 0? Å derivere $-x^2$ til $-2$ i stedet for $-2x$.

Løsning

1. Produktregel med $u=x^2-1$ og $v=e^{x^2}$: $u'=2x$ og, med kjerneregelen, $v'=2x\,e^{x^2}$.
2. $f'(x)=2x\,e^{x^2}+(x^2-1)\cdot2x\,e^{x^2}=2x\,e^{x^2}\big(1+x^2-1\big)=2x^3e^{x^2}$.
3. $e^{x^2}>0$ alltid, så fortegnet bestemmes av $x^3$: negativt for $x<0$, positivt for $x>0$.
4. $f$ avtar på $(-\infty,0]$ og vokser på $[0,\infty)$. Bunnpunktet er $f(0)=-1$.

Vanlige feil

• Fikk du 2x·e^(x^2)+(x^2-1)·e^(x^2)? Du har glemt kjernen: den deriverte av $e^{x^2}$ er $2x\,e^{x^2}$, ikke $e^{x^2}$.
• Å stoppe ved $2x\,e^{x^2}+(x^2-1)2x\,e^{x^2}$ uten å faktorisere. Da er fortegnet vanskelig å lese.

Løsning

1. Kjerneregelen: $h'(x)=e^{x/2}\cdot\tfrac12=\tfrac12e^{x/2}$.
2. $h^{-1}(1)=2\ln(1)=0$, så $2a=0$ og $a=0$.
3. $h'(2a)=h'(0)=\tfrac12e^0=\tfrac12$. Da er $\tfrac12=\tfrac1{2b}$, så $b=1$.

Vanlige feil

• Fikk du e^(x/2)? Du har glemt å gange med den deriverte av kjernen, $\tfrac12$.
• Fikk du 0,82? Du har brukt $h(1)$ i stedet for $h^{-1}(1)$. Med inversen fra a) er $h^{-1}(1)=2\ln1=0$.

Vanlige feil

• Å glemme den indre deriverte $\tfrac12$ fra kjerneregelen.
• Å glemme produktregelen i leddet $y\big(2-e^{\frac12(x+y)}\big)$ når du deriverer med hensyn på $y$.

Vanlige feil

• Å skrive $h'(x)$ i stedet for $h'(x+y)$. Den deriverte skal evalueres i kjernen $x+y$.

Løsning

1. Med hensyn på $x$ ($y$ er konstant): $6y-2xy-y^2=y(6-2x-y)$.
2. Med hensyn på $y$ ($x$ er konstant): $6x-x^2-2xy=x(6-x-2y)$.

Vanlige feil

• Fikk du 6y-2xy-2xy? Du har derivert $-xy^2$ med hensyn på $x$ til $-2xy$. Med hensyn på $x$ er $y^2$ en konstant, så leddet blir $-y^2$.

Vanlige feil

• Å glemme den indre deriverte $-0{,}1$ fra $e^{-0{,}1t}$. Da blir telleren $-10\,000e^{-0{,}1t}$ og fortegnet feil.
• Å derivere teller og nevner hver for seg. En brøk deriveres med brøkregelen.

Løsning

1. Produktregel og kjerneregel: $g'(x)=9x^8e^{-x^2}+x^9e^{-x^2}\cdot(-2x)=(9x^8-2x^{10})e^{-x^2}$.
2. $\mathrm{El}_x(g)=\dfrac{x\,(9x^8-2x^{10})e^{-x^2}}{x^9e^{-x^2}}=9-2x^2$.
3. $9-2x^2>1\iff x^2<4\iff x<2$ (siden $x\ge0$). Varen er luksusgode for $x<2$ og mindreverdig gode for $x>2$.
4. Sammenlikning: når $\mathrm{El}_x(g)>1$ vokser forbruket raskere enn budsjettet, så budsjettandelen øker. Den er størst i $x=2$, som tallene i b) viser: $3{,}7\,\%$, $46{,}9\,\%$, $8{,}1\,\%$.
5. Merk: I vanlig økonomisk språkbruk kalles et gode med $0<\mathrm{El}_x<1$ et nødvendighetsgode, og mindreverdig gode brukes om $\mathrm{El}_x<0$. Oppgaven bruker sin egen definisjon, og svaret over følger den.

Vanlige feil

• Fikk du 9/x-2x? Du har glemt å gange med $x$ i elastisitetsformelen.
• Fikk du -2? Å løse $9-2x^2>1$ som $x^2>4$. Ulikheten snur ikke når du flytter over ledd.

Løsning

1. Med hensyn på $x$: $xy$ gir $y$, $\dfrac{60}{x}$ gir $-\dfrac{60}{x^2}$, og $\dfrac{48}{y}$ er konstant.
2. Med hensyn på $y$: $xy$ gir $x$, $\dfrac{48}{y}$ gir $-\dfrac{48}{y^2}$, og $\dfrac{60}{x}$ er konstant.

Vanlige feil

• Fikk du y+60/x^2? Fortegnsfeil: den deriverte av $\dfrac{60}{x}$ er $-\dfrac{60}{x^2}$.