Implisitt derivasjon

Løsning

1. $\dfrac{\partial P}{\partial K}=20K^{-4/5}L^{4/5}$ og $\dfrac{\partial P}{\partial L}=80K^{1/5}L^{-1/5}$.
2. $\dfrac{dL}{dK}=-\dfrac{20K^{-4/5}L^{4/5}}{80K^{1/5}L^{-1/5}}=-\dfrac14\cdot\dfrac LK$.
3. I $(3200,100)$: $-\dfrac14\cdot\dfrac{100}{3200}=-\dfrac1{128}\approx-0{,}0078$.

Vanlige feil

• Fikk du -128? Du har snudd brøken. Stigningstallet er $-\tfrac{\partial P/\partial K}{\partial P/\partial L}$, ikke omvendt.
• Fikk du -1/4? Du har glemt faktoren $\tfrac LK$.
• Fikk du 0,01? Fortegnsfeil. Langs en isokvant må $L$ ned når $K$ går opp.

Løsning

1. Når $x=0$ eller $y=0$ er høyresiden $x\sqrt y=0$, så $U e^U=0$.
2. Siden $e^U>0$ for alle $U$, må $U=0$ langs begge aksene.
3. Når $x>0$ og $y>0$ er $x\sqrt y>0$. Da er $Ue^U>0$, og siden $e^U>0$, må $U>0$.

Vanlige feil

• $e^U=1$ gir $U=0$, men her er det produktet $Ue^U$ som er $0$. Svaret blir likevel $U=0$, fordi $e^U$ aldri er $0$.

Vanlige feil

• Å glemme at $e^U$ også må deriveres med kjerneregelen: den deriverte er $e^U\cdot U_x$, ikke $e^U$.

Løsning

1. $\mathcal L=U(x,y)-\lambda(x+2y-30)$. Betingelsene: $U_x=\lambda$ og $U_y=2\lambda$.
2. Del den andre på den første: $\dfrac{U_y}{U_x}=\dfrac{x/(2\sqrt y)}{\sqrt y}=\dfrac{x}{2y}=2$, så $x=4y$.
3. Sett inn i $x+2y=30$: $6y=30$, så $y=5$ og $x=20$.
4. Globalt maksimum: mengden $\{x+2y=30,\ x,y\ge0\}$ er lukket og begrenset, og $U$ er kontinuerlig, så et maksimum finnes. I endepunktene $(30,0)$ og $(0,15)$ er $U=0$, mens $U>0$ i $(20,5)$. Da må $(20,5)$ være det globale maksimumet.

Vanlige feil

• Fikk du 10? Du har satt $x=y$ eller glemt faktoren $2$ i betingelsen. Forholdet er $x=4y$.
• Å hevde globalt maksimum uten å sjekke endepunktene av linjestykket.

Løsning

1. Deriver $100K^{1/4}L^{3/4}=2\,700$ med hensyn på $K$, med $L=L(K)$: $$25K^{-\frac34}L^{\frac34}+75K^{\frac14}L^{-\frac14}\frac{dL}{dK}=0$$
2. I $K=L=27$ er $K^{-3/4}L^{3/4}=1$ og $K^{1/4}L^{-1/4}=1$, så $25+75\dfrac{dL}{dK}=0$.
3. $\dfrac{dL}{dK}=-\dfrac{25}{75}=-\dfrac13$.

Vanlige feil

• Fikk du -3? Du har snudd brøken. Stigningen er $-\dfrac{\partial U/\partial K}{\partial U/\partial L}=-\dfrac{25}{75}$.
• Fikk du 1/3? Fortegnsfeil. Langs en iso-nyttekurve må $L$ ned når $K$ går opp.

Vanlige feil

• Å bare vise at stigningene er like. Du må også vise at $(27,27)$ ligger på begge kurvene.

Løsning

1. Deriver $100K^{0{,}5}L^{0{,}5}+200K^{0{,}75}L^{0{,}25}=48\,000$ med hensyn på $K$: $$\begin{aligned}&50K^{-0{,}5}L^{0{,}5}+50K^{0{,}5}L^{-0{,}5}L'\\&+150K^{-0{,}25}L^{0{,}25}+50K^{0{,}75}L^{-0{,}75}L'=0\end{aligned}$$
2. Del på $50$ og samle leddene med $L'$ på venstre side: $$\begin{aligned}&\big(K^{0{,}5}L^{-0{,}5}+K^{0{,}75}L^{-0{,}75}\big)L'\\&=-\big(K^{-0{,}5}L^{0{,}5}+3K^{-0{,}25}L^{0{,}25}\big)\end{aligned}$$
3. Løs for $L'$: $$\frac{dL}{dK}=-\frac{K^{-0{,}5}L^{0{,}5}+3K^{-0{,}25}L^{0{,}25}}{K^{0{,}5}L^{-0{,}5}+K^{0{,}75}L^{-0{,}75}}$$

Vanlige feil

• Å glemme faktoren $L'$ når du deriverer leddene som inneholder $L$.
• Fikk du (K^(-0.5)·L^0.5+3K^(-0.25)·L^0.25)/(K^0.5·L^(-0.5)+K^0.75·L^(-0.75))? Du har glemt minustegnet.

Løsning

1. Med $K=L=160$ er hver potens $K^aL^{-a}=1$.
2. $\dfrac{dL}{dK}=-\dfrac{1+3}{1+1}=-2$.
3. Tolkning: én enhet mer kapital kan erstatte omtrent to enheter arbeidskraft uten at kontrakten brytes. (Dette kalles den tekniske substitusjonsbrøken.)

Vanlige feil

• Fikk du -1/2? Du har snudd brøken.
• Fikk du 2? Du har glemt minustegnet.