Eksponential- og logaritmefunksjoner

Løsning

1. $h(x)=\big(e^{1/2}\big)^x$ har grunntall $e^{1/2}>1$ og er derfor strengt voksende. En strengt voksende funksjon har en invers.
2. Løs $y=e^{x/2}$ for $x$: $\ln y=\tfrac x2$, så $x=2\ln y$.
3. Bytt navn på variabelen: $h^{-1}(x)=2\ln(x)$, definert for $x>0$.

Vanlige feil

• Fikk du ln(x)/2? Du har delt på $2$ i stedet for å gange. Fra $\ln y=\tfrac x2$ får du $x=2\ln y$.
• Fikk du e^(-x/2)? $\tfrac1{h(x)}=e^{-x/2}$ er ikke den inverse funksjonen. $h^{-1}$ er funksjonen som «går baklengs».

Vanlige feil

• Å glemme den indre deriverte $-0{,}1$ fra $e^{-0{,}1t}$. Da blir telleren $-10\,000e^{-0{,}1t}$ og fortegnet feil.
• Å derivere teller og nevner hver for seg. En brøk deriveres med brøkregelen.

Løsning

1. $f(0)=\dfrac{2\,500}{1+4e^0}=\dfrac{2\,500}{5}=500$.
2. Når $t\to\infty$, går $e^{-0{,}1t}\to0$, så $f(t)\to\dfrac{2\,500}{1}=2\,500$.
3. Skisse: kurven starter i $(0,500)$, vokser hele tiden (fra a)) og flater ut mot den vannrette asymptoten $f=2\,500$. Den typiske S-formen viser seg rundt $t\approx14$, der $f=1\,250$.

Vanlige feil

• Fikk du 2500? $e^0=1$, ikke $0$. Da blir nevneren $1+4=5$.
• Fikk du 0? Du har latt $e^{-0{,}1t}\to\infty$. Negativ eksponent betyr at leddet går mot $0$.

Løsning

1. Sett $V(N)=100$: $66{,}3157\,k^N-0{,}5\cdot\dfrac{1-k^N}{1-k}=100$.
2. Gang ut og samle $k^N$: $$\Big(66{,}3157+\frac{0{,}5}{1-k}\Big)k^N=100+\frac{0{,}5}{1-k}$$
3. Ta $\ln$ og løs for $N$: $N=\dfrac{\ln\Big[\frac{0{,}5+100(1-k)}{0{,}5+66{,}3157(1-k)}\Big]}{\ln k}\approx76{,}06$.
4. Etter 76 måneder er $V\approx99{,}96$, fortsatt litt under $100$. Etter 77 måneder er $V\approx100{,}63$. Svaret er 77 måneder.

Vanlige feil

• Fikk du 76? $N\approx76{,}06$ er ikke et helt antall måneder. Etter 76 måneder er $V(76)\approx99{,}96$, fortsatt under $100$, så du må runde opp til 77.
• Fikk du 36? Du har glemt rentene på $0{,}5$ millioner i måneden. Uten dem ville det tatt 36 måneder, men rentebetalingene spiser av aksjene hver måned.

Løsning

1. Forenkle: $B=\dfrac{0{,}1x^9e^{-x^2}}{x}=0{,}1x^8e^{-x^2}$.
2. $x=1$: $B=0{,}1e^{-1}\approx0{,}037=3{,}7\,\%$.
3. $x=2$: $B=0{,}1\cdot256\cdot e^{-4}\approx0{,}469=46{,}9\,\%$.
4. $x=3$: $B=0{,}1\cdot6\,561\cdot e^{-9}\approx0{,}081=8{,}1\,\%$.

Vanlige feil

• Fikk du 93,78? Du har glemt å dele på budsjettet $x$.
• Fikk du 0,47? Svar i prosent: $0{,}469$ er $46{,}9\,\%$.
• Fikk du 346,46? $e^{-x^2}$ med $x=2$ er $e^{-4}$, ikke $e^{-2}$.