Tilbud, etterspørsel og likevekt

Løsning

1. Sett $q=\dfrac{900}{(p+1)^2}$ og løs for $p$: $(p+1)^2=\dfrac{900}{q}$.
2. Siden $p\ge0$ er $p+1>0$, så vi tar den positive roten: $p+1=\dfrac{30}{\sqrt q}$, altså $p_1(q)=\dfrac{30}{\sqrt q}-1$.
3. Verdimengde: $D(0)=900$, og $D$ avtar mot $0$ når $p\to\infty$. Dermed er $V_D=(0,900]$, og det er også definisjonsmengden til $p_1$.

Vanlige feil

• Fikk du 900/q-1? Kvadratroten mangler: $(p+1)^2=\tfrac{900}{q}$ gir $p+1=\sqrt{900/q}=\tfrac{30}{\sqrt q}$.
• Fikk du 30/√(q)+1? Fortegnsfeil: fra $p+1=\tfrac{30}{\sqrt q}$ trekker du fra $1$ på begge sider.
• Å ta med den negative roten $p+1=-\tfrac{30}{\sqrt q}$. Den gir negativ pris og forkastes.

Løsning

1. $q=9p$ gir $p_2(q)=\dfrac q9$.
2. $p_1(36)=\dfrac{30}{\sqrt{36}}-1=5-1=4$ og $p_2(36)=\dfrac{36}{9}=4$. Begge kurvene går altså gjennom $(36,4)$.
3. $p_1$ er strengt avtagende og $p_2$ strengt voksende, så de kan bare krysse én gang. $(36,4)$ er derfor det krysningspunktet.

Vanlige feil

• Fikk du 9q? Du har skrevet opp $S$ igjen i stedet for å invertere. Fra $q=9p$ får du $p=\tfrac q9$.
• Å bruke tid på å løse $\tfrac{30}{\sqrt q}-1=\tfrac q9$. Hintet sier at det holder å sette inn punktet.

Løsning

1. Integranden er $p_1(q)-4=\dfrac{30}{\sqrt q}-5=30q^{-1/2}-5$.
2. En antiderivert er $60q^{1/2}-5q$, fordi den deriverte av $60q^{1/2}$ er $30q^{-1/2}$.
3. $A=\big[60\sqrt q-5q\big]_0^{36}=(60\cdot6-180)-0=180$.
4. Merk: $p_1\to\infty$ når $q\to0$, så integralet er strengt tatt uegentlig. Det konvergerer likevel, fordi $\sqrt q\to0$.

Vanlige feil

• Fikk du 324? $324$ er arealet under $p_1$ alene. Du har glemt å trekke fra linjen $p=4$, altså rektangelet $4\cdot36=144$.
• Fikk du 216? Du har trolig glemt $-1$ i $p_1(q)$, slik at integranden ble $\tfrac{30}{\sqrt q}-4$.
• Feil antiderivert av $q^{-1/2}$: den er $2q^{1/2}$, ikke $-\tfrac12q^{-3/2}$, som er den deriverte.

Løsning

1. $2^{p/20}$ er strengt voksende, og vi trekker den fra $45$. Da er $D$ strengt avtagende. (Eller: $D'(p)=-15\cdot2^{p/20}\cdot\tfrac{\ln2}{20}<0$.)
2. $D(p)\ge0$ gir $15\cdot2^{p/20}\le45$, altså $2^{p/20}\le3$. Ta $\ln$: $\tfrac p{20}\ln2\le\ln3$, så $p\le20\cdot\tfrac{\ln3}{\ln2}$. Sammen med $p\ge0$ gir det intervallet.
3. $D(0)=45-15=30$, og i øvre grense er $D=45-15\cdot3=0$. Siden $D$ er monoton, er verdimengden $[0,30]$.

Vanlige feil

• Å bruke $p\le0$ eller glemme $p\ge0$. En pris er ikke negativ.
• Å tro at verdimengden starter på $45$. Selv når $p=0$ er $2^{0}=1$, så $D(0)=30$.

Løsning

1. $q=45-15\cdot2^{p/20}$ gir $2^{p/20}=\dfrac{45-q}{15}=3-\dfrac q{15}$.
2. Ta $\ln$: $\dfrac p{20}\ln2=\ln\big(3-\tfrac q{15}\big)$, så $p_1(q)=20\cdot\dfrac{\ln(3-q/15)}{\ln2}$.
3. Definisjonsmengden er verdimengden til $D$ fra a): $0\le q\le30$.

Vanlige feil

• Å svare $q<45$. Logaritmen er definert der, men $p_1$ er bare den inverse på $D$ sine verdier, altså $[0,30]$.

Løsning

1. $2^{p/20}$ er strengt voksende og ganges med $15>0$, så $S$ er strengt voksende.
2. $S(0)=-15+15=0$, og i øvre grense er $2^{p/20}=3$, så $S=-15+45=30$. Verdimengden er $[0,30]$.
3. $q=-15+15\cdot2^{p/20}$ gir $2^{p/20}=\dfrac{q+15}{15}$, og dermed $p_2(q)=20\cdot\dfrac{\ln\big(\frac{q+15}{15}\big)}{\ln2}$.

Vanlige feil

• Fikk du 20·ln((q-15)/15)/ln(2)? Fortegnsfeil: fra $q=-15+15\cdot2^{p/20}$ legger du til $15$ på begge sider, så telleren blir $q+15$.

Løsning

1. Sett $p_1(q)=p_2(q)$. Begge har formen $20\cdot\tfrac{\ln(\dots)}{\ln2}$, så argumentene må være like: $3-\dfrac q{15}=\dfrac{q+15}{15}$.
2. Gang med $15$: $45-q=q+15$, så $q=15$.
3. $p=p_1(15)=20\cdot\dfrac{\ln2}{\ln2}=20$. Likevekten er $(15,20)$.
4. Figur: $p_1$ synker fra omtrent $31{,}7$ i $q=0$ til $0$ i $q=30$, og $p_2$ stiger fra $0$ til omtrent $31{,}7$. De krysser i $(15,20)$.

Vanlige feil

• Fikk du 20? Du har byttet om pris og mengde. Likevekten er $q=15$ enheter til prisen $p=20$.

Løsning

1. $A=\displaystyle\int_0^{15}\big(20-p_2(q)\big)\,dq=20\cdot15-\frac{20}{\ln2}\int_0^{15}\ln\big(1+\tfrac q{15}\big)\,dq$.
2. Fra 2c) er integralet $30\ln2-15$.
3. Sett inn: $$\begin{aligned}A&=300-\frac{20}{\ln2}(30\ln2-15)\\&=\frac{300}{\ln2}-300\approx132{,}81\end{aligned}$$

Vanlige feil

• Fikk du 167,19? Du har regnet arealet under $p_2$ i stedet for mellom $p=20$ og $p_2$.
• Å ikke se at $\tfrac{q+15}{15}=1+\tfrac q{15}$, slik at 2c) kan brukes direkte.

Løsning

1. Sett $q=A-p$ og løs for $p$: $p_1(q)=A-q$.
2. Grafen er en rett linje med stigningstall $-1$ og skjæring $A$ med $p$-aksen.
3. Når $A$ øker, øker skjæringen, mens stigningen er den samme. Linjen parallellforskyves oppover.

Vanlige feil

• Fikk du q-A? Fortegnsfeil. Fra $q=A-p$ får du $p=A-q$.

Løsning

1. Tilbudt mengde kan ikke være negativ: $4p-100\ge0$ gir $p\ge25$.
2. Sett $q=4p-100$ og løs for $p$: $4p=q+100$, så $p_2(q)=\tfrac14q+25$ for $q\ge0$.

Vanlige feil

• Fikk du q/4+100? Du har delt bare $q$ på $4$ og ikke $100$.
• Fikk du 0? Å svare $p>0$. Priser mellom $0$ og $25$ gir negativt tilbud.

Løsning

1. Sett $100-q=\tfrac14q+25$: $75=\tfrac54q$, så $q=60$.
2. $p=100-60=40$. Likevekten er $(60,40)$.
3. Figur: $p_1$ går fra $(0,100)$ til $(100,0)$, og $p_2$ starter i $(0,25)$ med stigning $\tfrac14$. De krysser i $(60,40)$.
4. Når $A$ øker, flyttes $p_1$ opp, og krysningspunktet flyttes opp og til høyre langs $p_2$: både pris og kvantum øker.

Vanlige feil

• Fikk du 40? Du har byttet om pris og mengde.
• Å tro at bare prisen øker. Siden tilbudskurven stiger, flyttes krysset også mot høyre.

Løsning

1. Nytt kryss: $125-q=\tfrac14q+25$ gir $q=80$ (og $p=45$).
2. Areal $=\displaystyle\int_{60}^{80}\Big((125-q)-\big(\tfrac14q+25\big)\Big)\,dq=\int_{60}^{80}\Big(100-\tfrac54q\Big)\,dq$.
3. $=\Big[100q-\tfrac58q^2\Big]_{60}^{80}=(8\,000-4\,000)-(6\,000-2\,250)=250$.
4. Kontroll: i $q=60$ er $p_1=65$ og $p_2=40$, så grunnlinjen er $25$ og høyden $20$. $\tfrac12\cdot25\cdot20=250$.

Vanlige feil

• Fikk du 4000? Du har integrert fra $0$ til $80$ i stedet for fra $60$.
• Fikk du 500? Du har glemt $\tfrac12$ i trekantformelen.