Tilbud, etterspørsel og likevekt

Løsning

1. Sett $q=\dfrac{900}{(p+1)^2}$ og løs for $p$: $(p+1)^2=\dfrac{900}{q}$.
2. Siden $p\ge0$ er $p+1>0$, så vi tar den positive roten: $p+1=\dfrac{30}{\sqrt q}$, altså $p_1(q)=\dfrac{30}{\sqrt q}-1$.
3. Verdimengde: $D(0)=900$, og $D$ avtar mot $0$ når $p\to\infty$. Dermed er $V_D=(0,900]$, og det er også definisjonsmengden til $p_1$.

Vanlige feil

• Fikk du 900/q-1? Kvadratroten mangler: $(p+1)^2=\tfrac{900}{q}$ gir $p+1=\sqrt{900/q}=\tfrac{30}{\sqrt q}$.
• Fikk du 30/√(q)+1? Fortegnsfeil: fra $p+1=\tfrac{30}{\sqrt q}$ trekker du fra $1$ på begge sider.
• Å ta med den negative roten $p+1=-\tfrac{30}{\sqrt q}$. Den gir negativ pris og forkastes.

Løsning

1. $q=9p$ gir $p_2(q)=\dfrac q9$.
2. $p_1(36)=\dfrac{30}{\sqrt{36}}-1=5-1=4$ og $p_2(36)=\dfrac{36}{9}=4$. Begge kurvene går altså gjennom $(36,4)$.
3. $p_1$ er strengt avtagende og $p_2$ strengt voksende, så de kan bare krysse én gang. $(36,4)$ er derfor det krysningspunktet.

Vanlige feil

• Fikk du 9q? Du har skrevet opp $S$ igjen i stedet for å invertere. Fra $q=9p$ får du $p=\tfrac q9$.
• Å bruke tid på å løse $\tfrac{30}{\sqrt q}-1=\tfrac q9$. Hintet sier at det holder å sette inn punktet.

Løsning

1. Integranden er $p_1(q)-4=\dfrac{30}{\sqrt q}-5=30q^{-1/2}-5$.
2. En antiderivert er $60q^{1/2}-5q$, fordi den deriverte av $60q^{1/2}$ er $30q^{-1/2}$.
3. $A=\big[60\sqrt q-5q\big]_0^{36}=(60\cdot6-180)-0=180$.
4. Merk: $p_1\to\infty$ når $q\to0$, så integralet er strengt tatt uegentlig. Det konvergerer likevel, fordi $\sqrt q\to0$.

Vanlige feil

• Fikk du 324? $324$ er arealet under $p_1$ alene. Du har glemt å trekke fra linjen $p=4$, altså rektangelet $4\cdot36=144$.
• Fikk du 216? Du har trolig glemt $-1$ i $p_1(q)$, slik at integranden ble $\tfrac{30}{\sqrt q}-4$.
• Feil antiderivert av $q^{-1/2}$: den er $2q^{1/2}$, ikke $-\tfrac12q^{-3/2}$, som er den deriverte.