Grenseverdier og kontinuitet

Løsning

1. Legg merke til at eksponenten er et fullstendig kvadrat: $x^2-2x+1=(x-1)^2$. Den er $0$ i $x=1$, så $e^{x^2-2x+1}=e^0=1$ der.
2. Venstre verdi: $\lim_{x\to1^-}f(x)=(2\cdot1+1)\cdot1=3$.
3. Venstre stigning, med $f'$ fra a): $\lim_{x\to1^-}f'(x)=2\cdot1\cdot(2\cdot1-1)\cdot1=2$.
4. Høyre del $ax+b$ har verdien $a+b$ og stigningen $a$ i $x=1$.
5. Samme verdi og samme stigning: $a+b=3$ og $a=2$. Det gir $a=2$ og $b=1$.

Vanlige feil

• Fikk du 3e? Du har trolig regnet eksponenten som $1$. Men $1^2-2\cdot1+1=0$, så faktoren er $e^0=1$.
• Fikk du 2e? Samme felle: $e^{x^2-2x+1}$ er $e^0=1$ i $x=1$, ikke $e$.
• Å bare kreve like verdier. Da får du bare likningen $a+b=3$, som ikke bestemmer $a$ og $b$ hver for seg.