Grenseverdier og kontinuitet

Løsning

1. Legg merke til at eksponenten er et fullstendig kvadrat: $x^2-2x+1=(x-1)^2$. Den er $0$ i $x=1$, så $e^{x^2-2x+1}=e^0=1$ der.
2. Venstre verdi: $\lim_{x\to1^-}f(x)=(2\cdot1+1)\cdot1=3$.
3. Venstre stigning, med $f'$ fra a): $\lim_{x\to1^-}f'(x)=2\cdot1\cdot(2\cdot1-1)\cdot1=2$.
4. Høyre del $ax+b$ har verdien $a+b$ og stigningen $a$ i $x=1$.
5. Samme verdi og samme stigning: $a+b=3$ og $a=2$. Det gir $a=2$ og $b=1$.

Vanlige feil

• Fikk du 3e? Du har trolig regnet eksponenten som $1$. Men $1^2-2\cdot1+1=0$, så faktoren er $e^0=1$.
• Fikk du 2e? Samme felle: $e^{x^2-2x+1}$ er $e^0=1$ i $x=1$, ikke $e$.
• Å bare kreve like verdier. Da får du bare likningen $a+b=3$, som ikke bestemmer $a$ og $b$ hver for seg.

Løsning

1. Venstre del: $-2^2+2\cdot2+1=1$. Høyre del: $2^2-6\cdot2+9=1$. Begge grenseverdiene for $f$ er $1$.
2. Deriver hver del: $f'(x)=-2x+2$ til venstre og $f'(x)=2x-6$ til høyre.
3. I $x=2$: $-2\cdot2+2=-2$ og $2\cdot2-6=-2$. Begge grenseverdiene for $f'$ er $-2$.
4. Samme verdi betyr at grafen henger sammen uten hopp. Samme stigning betyr at det ikke er noen knekk: de to delene har felles tangent i $x=2$.

Vanlige feil

• Å sette $x=2$ inn i feil del. Til venstre for $2$ gjelder $-x^2+2x+1$, til høyre gjelder $x^2-6x+9$.
• Fikk du 0? Å derivere $-x^2$ til $-2$ i stedet for $-2x$.

Løsning

1. $f(0)=\dfrac{2\,500}{1+4e^0}=\dfrac{2\,500}{5}=500$.
2. Når $t\to\infty$, går $e^{-0{,}1t}\to0$, så $f(t)\to\dfrac{2\,500}{1}=2\,500$.
3. Skisse: kurven starter i $(0,500)$, vokser hele tiden (fra a)) og flater ut mot den vannrette asymptoten $f=2\,500$. Den typiske S-formen viser seg rundt $t\approx14$, der $f=1\,250$.

Vanlige feil

• Fikk du 2500? $e^0=1$, ikke $0$. Da blir nevneren $1+4=5$.
• Fikk du 0? Du har latt $e^{-0{,}1t}\to\infty$. Negativ eksponent betyr at leddet går mot $0$.