Integrasjon og areal

Løsning

1. Integranden er $p_1(q)-4=\dfrac{30}{\sqrt q}-5=30q^{-1/2}-5$.
2. En antiderivert er $60q^{1/2}-5q$, fordi den deriverte av $60q^{1/2}$ er $30q^{-1/2}$.
3. $A=\big[60\sqrt q-5q\big]_0^{36}=(60\cdot6-180)-0=180$.
4. Merk: $p_1\to\infty$ når $q\to0$, så integralet er strengt tatt uegentlig. Det konvergerer likevel, fordi $\sqrt q\to0$.

Vanlige feil

• Fikk du 324? $324$ er arealet under $p_1$ alene. Du har glemt å trekke fra linjen $p=4$, altså rektangelet $4\cdot36=144$.
• Fikk du 216? Du har trolig glemt $-1$ i $p_1(q)$, slik at integranden ble $\tfrac{30}{\sqrt q}-4$.
• Feil antiderivert av $q^{-1/2}$: den er $2q^{1/2}$, ikke $-\tfrac12q^{-3/2}$, som er den deriverte.

Løsning

1. Fra b) er $f'(q)=\ln(1+\tfrac q{15})$, så $f$ er en antiderivert.
2. $\displaystyle\int_0^{15}\ln(1+\tfrac q{15})\,dq=f(15)-f(0)$.
3. $f(15)=30\ln(2)-15$ og $f(0)=15\ln(1)-0=0$. Svaret er $30\ln(2)-15\approx5{,}794$.

Vanlige feil

• Fikk du 20,79? $30\ln 2\approx20{,}79$ er bare første ledd av $f(15)$. Husk $-q$, som gir $-15$.
• Å integrere $\ln$ direkte uten å bruke b). Det går, men krever delvis integrasjon.

Løsning

1. $A=\displaystyle\int_0^{15}\big(20-p_2(q)\big)\,dq=20\cdot15-\frac{20}{\ln2}\int_0^{15}\ln\big(1+\tfrac q{15}\big)\,dq$.
2. Fra 2c) er integralet $30\ln2-15$.
3. Sett inn: $$\begin{aligned}A&=300-\frac{20}{\ln2}(30\ln2-15)\\&=\frac{300}{\ln2}-300\approx132{,}81\end{aligned}$$

Vanlige feil

• Fikk du 167,19? Du har regnet arealet under $p_2$ i stedet for mellom $p=20$ og $p_2$.
• Å ikke se at $\tfrac{q+15}{15}=1+\tfrac q{15}$, slik at 2c) kan brukes direkte.

Løsning

1. Nytt kryss: $125-q=\tfrac14q+25$ gir $q=80$ (og $p=45$).
2. Areal $=\displaystyle\int_{60}^{80}\Big((125-q)-\big(\tfrac14q+25\big)\Big)\,dq=\int_{60}^{80}\Big(100-\tfrac54q\Big)\,dq$.
3. $=\Big[100q-\tfrac58q^2\Big]_{60}^{80}=(8\,000-4\,000)-(6\,000-2\,250)=250$.
4. Kontroll: i $q=60$ er $p_1=65$ og $p_2=40$, så grunnlinjen er $25$ og høyden $20$. $\tfrac12\cdot25\cdot20=250$.

Vanlige feil

• Fikk du 4000? Du har integrert fra $0$ til $80$ i stedet for fra $60$.
• Fikk du 500? Du har glemt $\tfrac12$ i trekantformelen.